bash és bc (?) [megoldva]

sziasztok.
abszolut nem tanulok és nem is tanultam sosem programozást, illetve semmi ehhez hasonlót.
saját magam sórakoztatom néha ezzel.
most egy olyan próblémába ütköztem, ami elég triviális, de mégsem tudom megoldani.
a lényeg az, hogy logokat különböző fájlokra bontok le, kulcsszó alapján. ezzel nincs is semmi probléma.
viszont szeretném, ha x idő múltán a régebbi fájlok törlődnének. ezt nem tudom megoldani.
többféleképpen próbálkoztam, de nem jártam eredménnyel.
az alaphelyzet:

#!/bin/bash

set -e

DATE_LOG=`date +%Y%m%d`

# sshd log
cat /var/log/auth.log | grep sshd 2>&1 > /home/sumo/sec/log/sshd_auth_${DATE_LOG}.log

a legutolsó próbálkozásom ez volt:

DATE_RM=`expr ${DATE_LOG} - 7`

így megkapom ugyan eredménynek $DATE_LOG - 7 -et helyesen (legalábbis az echo $DATE_RM kiírja az értéket), de a $DATE_RM változót mégsem tudom használni. egyszerűen létre szerettem volna hozni próbaképp egy fájlt így:

touch /home/sumo/sec/log/teszt_${DATE_RM}.txt

de nem ment.
legyetek szívesek elindítani a helyes irányba:)
előre is köszi: sumo