Cég valós hatékonyságának mérése relatív profittal

Először is profitot kell vizsgálnunk bevétel helyett, mert lehet olyan, hogy több a bevétel kevesebb profit mellett, függően az eladott termékek összetételétől.

Másodszor, függetlenné kell tennünk a mérést a piaci igények ingadozásától. Ugyanis ha ezt nem tesszük meg, akkor nem valós különbséget fogunk látni. Az éppen aktuális keresletek mennyisége össze fog mosódni a tervezési hatékonyságunkkal. Két hullám összege, mely utólagosan nem szétbontható. Ha mi jól tervezünk, de a piaci igények csökkenő tendenciát mutatnak, akkor az jönne ki, hogy rosszul teljesített a cégünk. Ha viszont le tudjuk választani a piaci igények fluktuációját, akkor tisztán a hatékonyságunkat kapjuk meg, mellyel összehasonlíthatóvá válnak a különböző időszakok.

 

Nézzünk egy példát. Tegyük fel, hogy kereskedelemmel foglalkozik cégünk. Termékeket árulunk és tudjuk, hogy melyik hónapban mekkora volt az eladások árréséből realizált profitunk. Például az utolsó 6 hónap értéke millió forintban:

3 872 219

3 892 552

4 283 189

3 747 272

3 968 658

3 508 106

Ha csak az értékeket néznénk, akkor azt látnánk, hogy az utolsó hónapban rosszabbul teljesítettünk az előzőhöz képest. Akkor vajon ez az emberek hibája? Ők tervezték rosszul a kínálatot és nem tudták kiszolgálni az igényeket? Nem biztos.

 

Hogyan tudjuk megkapni a választ?

Az összehasonlítandó időszakokban kiszámoljuk, hogy a keletkezett profitunk mekkora mennyiségi igényhez keletkezett. Ugyanis a piacon a kereslet az, ami folyamatosan változik. Profitunk pedig azt mutatja, hogy a keresletre milyen kínálattal reagáltunk. Ezért a keletkezett profithoz hasonlítom a megjelent keresletet és így teszem viszonylagossá és függetlenné. És mivel csak azon kereslet szolgálható ki, amelyhez volt árunk, így csak ezt a keresletet tudom figyelembe venni. De pont ez kell nekem, vagyis hogy arányaiban hogyan került szétosztásra milyen termék az összes kiszolgált kereslethez. Ez kódolja magába a tervezési hatékonyságot. Hogy olyan áruból terveztünk-e többet, amely szintén eladható volt, de üzletileg jobb volt, növelve a profitot? És ez mellett a diverzitást is tudtuk-e tartani, hogy az általános kínálati gravitációnk is meglegyen?

Tehát a megoldásomban egy osztás művelet van: teljes profit osztva a teljes mennyiséggel. Ez az abszolút értékű profitot relatívvá konvertálja. Ezzel arra kapunk választ, hogy mennyire lett hatékony a tervezésünk, vagyis a készletre vonatkozó tőke szétosztásunk a termékeink között és a megjelent mennyiségi igényekhez képest mekkora profitot tudtunk generálni. Így már összehasonlíthatóak lesznek a vizsgált időszakok.

Van viszont megoldandó nehézség. A különböző termékek különböző mértékegységűek lehetnek. Például darab, kiló, liter, karton. De nekünk ezeket össze kell adnunk, mert az összes mennyiséggel osztjuk a teljes profitot. De nem adhatunk darab értékhez kilót. Nem kompatibilis.

 

Mi tehát a megoldás?

Mivel egy osztásról van szó és azonos számú értéket adok össze az osztás tetején és alján is, ezért ha mindkettőt elosztom a számukkal, az nem változtat az osztás eredményén. Viszont összeadásból átlaggá módosul. Lásd a képletet.

Tehát az összegük hányadosa egyenlő az aritmetikai átlaguk hányadosával. Én viszont tovább megyek és lecserélem az aritmetikai átlagot mértani átlagra, mert ez utóbbinak az az erős tulajdonsága, hogy mértékegység függetlenné teszi a különböző értékeket az összeszorzásuk miatt. Ugyanis egy magas dimenziójú téglalapot kapunk a szorzással, melynél az élek jelentik az értékeket. És így bármely érték változása ugyanakkora hatással lesz a térfogatra. Vagyis az eredményre. Ezzel viszont kompatibilisen lehet számosítani a teljes mennyiségi igényt, amelyhez viszonyítjuk a megjelent profitot.

 

Miért tehetem meg, hogy az aritmetikai átlagot mértanira cserélem?

Mert a megoldásban egy hányados van. Két átlagot osztok. A mértani átlag kisebb értéket ad általában mint az aritmetikai, viszont mivel osztás van, ezért mind a számlálóban és mind a hányadosban egyszerre csökken a cserével az átlag eredménye. Ezért a hányadosuk ezt vissza korrigálja. Kisebb értéket osztok kisebbel, tehát az eredmény hasonló.

 

Mennyire hasonló?

Ha sok véletlen adat aritmetikai átlagát osztom mértanival, akkor átlagban 36%-kal nagyobb az aritmetikai. Monte Carlo szimuláció azonnal kéznél van és pillanatok alatt futtatható erős konverzióval. A definiált függvényeknél „mean” csinálja az aritmetikai átlagot és „meang” a mértani átlagot mint „geometric mean”.

 

def mean( data ); return ( data.sum / data.size.to_f ); end

def meang( data ); return Math.exp( data.map{|x| Math.log(x) }.sum / data.size.to_f ); end

 

mean( 1000_000.times.map{ d = 30.times.map{ rand }; mean(d) / meang(d) } )

=> 1.35924275992819

 

Az eredmény 1.36, vagyis 36%-kal nagyobb az aritmetikai átlag. Ha viszont 1 helyett 2 véletlen adat hányadosát veszem, akkor az aritmetikai csak 1%-kal nagyobb:

 

mean( 1000_000.times.map{ d1 = 30.times.map{ rand }; d2 = 30.times.map{ rand }; x = mean(d1) / mean(d2); y = meang(d1) / meang(d2); x / y } )

=> 1.011069294947481

 

Uniform eloszlás helyett exponenciális eloszlásból mintavételezve a véletlen értékeket rand helyett Math.log(rand) használatával 77%-kal nagyobb aritmetikai átlagot kapok az első esetben, míg csupán 2%-kal nagyobbat a második esetben. Tehát exponenciális eloszlás sem okoz durva eltérést az átlag típusának cseréjénél.

 

mean( 1000_000.times.map{ d = 30.times.map{ -Math.log(rand) }; mean(d) / meang(d) } )

=> 1.7704352028359716

mean( 1000_000.times.map{ d1 = 30.times.map{ -Math.log(rand) }; d2 = 30.times.map{ -Math.log(rand) }; x = mean(d1) / mean(d2); y = meang(d1) / meang(d2); x / y } )

=> 1.0210856166365518

 

Tehát a cég valós hatékonyságának számításához használandó végső képlet, melyet a különböző időszakok összehasonlítására használhatunk, a következő:

Az adott időszakban minden egyes eladás árrését osztjuk az eladott mennyiséggel, mindegy milyen mértékegységben van, majd az összesnek vesszük a mértani átlagát. És ezen értékek hasonlíthatók össze egymással.

 

Lássuk újra a fenti 6 hónap értékét immáron ezzel számítva:

9.8906

10.086

10.358

9.7921

10.017

10.157

Látjuk, hogy ez alapján az utolsó hónapunk teljesítménye nem rosszabb volt, hanem jobb, függetlenül a megjelent igények mennyiségétől. Tehát a csökkenő piac ellenére jobban terveztünk.

 

Az eladott mennyiség árrése az egységnyi árrés szorozva az eladott mennyiséggel:

p = p_unit * v

De mivel p-t osztom v-vel a hányadosban, ezért kiesik v:

p / v = p_unit * v / v = p_unit

Tehát csak az egységnyi árrés marad. Mivel 20 azonos termék eladása úgy is tekinthető, mint 1 ilyen termék eladása 20-szor, ezért szétbontom a legkisebb egységekre. Mégpedig azért, mert az összes árrés eloszlására vagyok kíváncsi. Melyik árrés nagyságból mennyi van arányaiban.

Tehát a végső konklúzió, hogy az egységnyi árrések mértani közepét veszem. Ha egy termékből 100 db-ot adtunk el a vizsgált időszakban, akkor 100-szor veszem ennek az egységnyi árrését a számításban. Ugyanígy a többinél.

E_g( p_unit )

Ez intuitív megértést is ad a számításról, mert ezzel a termékenkénti profit nagyságának eloszlását vizsgálom. Arányaiban több nagyobb árrésű termék nagyobb pénzügyi hatékonyságot mutat.

 

Log transzformációval végzett mértani középpel szét tudom bontani a mennyiségeket egyetlen termékre. Így az elemek számát a mennyiségek összege adja, mert ennyi darab árrést vizsgálok. Ezért az 1/n mutató a mértani közép számításnál 1/summa(v) lesz. Így a végső képlet:

exp( summa( v * ln( p_unit )) / summa( v ))

 

Excel példa, ahol kék oszlopok a bemeneti adatok és piros oszlopok a kiszámolt értékek:

https://docs.google.com/spreadsheets/d/16OgE-vzYZriXnCSCsBjOBOp7CiuXX2ooNwWb-HtE_eE/

 

Kép magyarázat:

E → aritmetikai átlag (Expected value)

Eg → mértani átlag (Expected value, geometric)

p → profit az árrésen, vagyis eladási ár mínusz beszerzési ár

v → volume vagyis eladott mennyiség