térgeometriai példa

Közösségi kerekasztal

kaptam egy egyszerũ térgeometriai problémát:

állapítsa meg a négyzet alapú derékszögũ gúla szomszédos oldallapjainak közrezárt
szögét az oldalhossz és a magasság függvényében!

ezt találtam ki:

ahol "a" az oldalhossz, "h" a magasság.

helyes-e?
ez egy ismert képlet vagy kell levezetés az indokláshoz? (amit ha szemléltetek, nehéz lesz megrajzolni, vagy ha csak szövegesen magyarázom, nehéz lesz elképzelni)

  • 6394 megtekintés

( egmont | 2013. 11. 04., h – 21:16 )

Mármint átellenes, vagy szomszédos oldallapok szöge kell?

(Csinálj az "ű" betűddel légyszi valamit, szörnyű amit helyette gépelsz.)

A dead_tilde definíció szerint szükségszerűen tildét rak rá, ami nem jó. Van viszont dead_doubleacute.

A gúláshoz sajna hirtelen nem tudok hozzászólni, nem annyira jó a 3d térlátásom, és most nincs időm alaposabban belegondolni. Az átellenesek még mentek volna :D

régóta foglalkoztat a billkiosztásom "egyedisége", de most felbujtásodnak hála utánajártam és megoldottam, így kell ű-t írnom: AltGr-Shift-2+u
:)
beállítottam a megszokott Shift-`+u kombóra, de akkor nem tudnék `+space kombóval tildét írni...

~~~~~~~~
Linux 3.2.0-4-486
Debian 7.1

( lopci v | 2013. 11. 05., k – 12:35 )

Én is végigszámoltam, nekem más jött ki:

Ha átnézed még egyszer és nem ez jön ki, írd le a lépéseket, aztán összehasonlítom a sajátommal

én úgy számoltam hogy

oldalél = a
magasságtengely = h

elhelyeztem egy S segéd síkot, amin raja fekszik az alaplap K középpontja és merőleges rá egy oldalél (legyen i).

S metszet i = M
a metszet i = A
MA = d

az S kimetsz egy-egy szakaszt (legyen c és c') két szomszédos oldallapból, az S elhelyezéséből következik, hogy rajta fekszik a gúla alaplapjának két szemközti csúcsa.

[cda] egy derékszögű háromszög, derékszög az a-val szemközti.

az S-re illeszkedik az alaplap egyik átlója, z.
z metszet a = B
KB = b
KA = f
|b| = |f| = sqrt(2) * a / 2

az S kimetsz egy KM lengő szakaszt a testből (legyen e).
[edb] egy derékszögű háromszög, derékszög a b-vel szemközti.

[hfi] egy derékszögű háromszög, derékszög az i-vel szemközti.
[fi] közrezárt szöge legyen beta.

keressük a c és c' bezárt szögét, legyen alpha.
alpha = [cc']
alpha = 2 * [ce]

tan(alpha/2) = b/e
alpha = 2*atan(b/e)

sin(beta) = h/i
sin(beta) = e/f
e = f*sin(beta) = f*h/i
i = sqrt(f^2 + h^2)
e = f*h/sqrt(f^2 + h^2)

alpha = 2*atan( b / (f*h/sqrt(f^2 + h^2)) )
|b| = |f|, ezért b-vel redukáljuk:
alpha = 2*atan( 1 / (h/sqrt(f^2 + h^2)) )
reciprok alak miatt átírható erre:
alpha = 2*atan(sqrt(f^2 + h^2) / h)
az f-et a-bol szarmaztattuk:
alpha = 2*atan(sqrt((sqrt(2)*a/2)^2 + h^2) / h)
alpha = 2*atan(sqrt(2a^2/4 + h^2) / h)
(2a^2/4)-t 2-vel redukáljuk:
alpha = 2*atan(sqrt(a^2/2 + h^2) / h)

~~~~~~~~
Linux 3.2.0-4-486
Debian 7.1

( DieHappy | 2013. 11. 05., k – 15:08 )

Van rola rajz? Reg volt mar a kozepiskolas geometria, ugyhogy nem tudom miert lehet a negyzetalapu derekszogu gulanak szabadon valasztani a magassagat, ha az alapel adott... Mire vonatkozik az, hogy derekszogu, ha nem az oldallapok csucsnal levo szogere? (Mert a szabalyossag meg szimmetriat feltetelez, szoval tul sok minden van megkotve)

igazad van, a "szabályos" felesleges információ volt, kivettem (biztos arra gondoltam h szabályos négyszög, azaz négyzet az alaplap).
derékszögű tudtommal azt jelenti, hogy a [csúcs -- alaplaplap középpont] egyenes merőleges az alaplapra.

így már nem kötött a magassága.

~~~~~~~~
Linux 3.2.0-4-486
Debian 7.1

( miq | 2013. 11. 05., k – 22:45 )

Mivel rondán rajzolok, és nem is látom át az ilyen ábrákat, rajtam mindig a koordinátageo segít.
A végigszámoláshoz most már lusta vagyok, de kövesd az alábbi receptet:

Vedd fel az öt csúcs koordinátáit:
A=(0,0,0) B=(0,a,0) C=(a,a,0) D=(a,0,0) X=(a/2,a/2,h)

Számold ki az ABX háromszög síkjának normálvektorát. Ezt megkapod pl. az AB és az AX vektorok vektoriális szorzataként.

Számold ki a BCX háromszög síkjának normálvektorát hasonló módon

Számold ki a két normálvektor által bezárt szöget a skaláris szorzatból. a*b=|a|*|b|*sin(alfa)

A síkok által bezárt szög = 180fok - a normálvektorok által bezárt szög.