Matek érdekesség

Offtopic

Matekórán megemlített a tanár egy érdekes dolgot:
Adott egy egységnyi befogókkal rendelkező derékszögű háromszög. Megtanították nekünk, hogy a Pitagorasz-tétel miatt az átfogója gyök 2 hosszúságú.

Pistike viszont nem hiszi el, és azt mondja:
Vegyük ezt a háromszöget és kezdjük el a következőt:

B
|\
|_\
C A

Mindig A-ból indulunk.
1 egységet megyünk balra, majd 1 egységet felfelé, így eljutottunk A-ból B-be, összesen 2*1=2 egység megtételével.
Most menjünk 1/2-nyit balra, majd 1/2-nyit fölfelé, még 1/2-nyit balra és 1/2-nyit fölfelé, ugyanaz az eredmény mint előbb, összesen 4*1/2=2 egység megtételével
Következő lépésben már 1/4, 1/8, 1/16, ... hosszúságú lépésekkel haladunk.
Viszont akármennyire is kis lépésekkel haladunk, az összes megtett út 2n*1/n=2 lesz, és a végtelenül kicsi lépések már az átfogót eredményezik.

Ezek után az átfogó 2, vagy gyök 2 hosszúságú?

A mese ennyi, egyrészt érdekelne a magyarázat (valahol a végtelen környékén szokott lenni a hiba az ilyen gondolatmenetekben), másrészt van ennek a "paradoxonnak" neve? Vagy valami hasonló példát tud mondani valaki?
Eddig nem sikerült rátalálnom a problémára a neten. Némi segítséget kérek. Mit keressek tulajdonképpen?

Szerk:
Köszönöm mindenkinek, aki hozzászólt. A megoldás tehát az, hogy a végtelen finom beosztás sem lesz az átfogó, csak végtelen sok kis háromszög befogóin fogunk szaladgálni.

  • 2157 megtekintés

( nice | 2011. 10. 15., szo – 22:44 )

Attól, hogy feltekerjük a cérnát, nem lesz rövidebb. Csalóka az a megérzés, hogy elhanyagolhatjuk a lépcsőzetes vonal egyenes lejtőtől való eltéréseit. Egy négyzethálós térképű városban A-ból B-be minden kerülő nélküli útvonal egyforma hosszú.

A wikipédia szerint:

Ma már tudjuk, hogy végtelen sok szám összege is adhat véges eredményt. A paradoxon esetében, ha összeadjuk a végtelen sok apró időszeletet, amit az egyes lépések igénybe vesznek, véges időt kapunk eredményül, méghozzá pontosan annyit, amennyire Akhilleusznak szüksége van, hogy utolérje a teknőst. Ha ennél több időt adunk, természetesen meg is előzi.

(Én nem tudom, hogy ez helyes-e.)

( dblaci | 2011. 10. 15., szo – 23:01 )

"és a végtelenül kicsi lépések már az átfogót eredményezik." ??
A lépegetésnél nem is veszed figyelembe milyen irányba lépegetsz. Lépegethetnél balra, meg jobbra is, és akkor is 2 egységet tennél meg (ahhoz közelítenél), mi köze ennek az átfogóhoz?

( Nyizsa v | 2011. 10. 15., szo – 23:03 )

Ez a gondolatmenet tulajdonképpen az eredeti háromszöghöz hasonló háromszögek (egyre kisebbek, de egyre többen vannak) befogói mentén halad. Mi az átfogót keressük.
Szerk: nice++

--
Debian - The "What?!" starts not!
http://nyizsa.uni.cc

( Caro | 2011. 10. 15., szo – 23:18 )

Ha jól sejtem talán fraktálisnak kell tekinteni ez esetben a határvonalat.
A végtelen kis finomítás a terület kiszámítására használható, de az ívhosszt máshogyan kell mérni.

( zamboriz v | 2011. 10. 15., szo – 23:21 )

> és a végtelenül kicsi lépések már az átfogót eredményezik.

Területben. Nem hosszban.

( buki | 2011. 10. 15., szo – 23:38 )

Minden egyes lépéshez kiszámíthatod, hogy mekkora az eltérés a töröttvonal hossza és az átfogó között. Ez ez eltérés pedig konstans, függetlenül attól, hogy mennyire finomítod a "közelítést". Vagyis itt az az alapfeltevés nem igaz, mely szerint a töröttvonal hossza az átfogó hosszához tart. Valójában nem tart sehova. Ennyi a trükk.

---
Science for fun...

( maszili | 2011. 10. 16., v – 04:19 )

Asszem Járai mesélte egy előadáson a következőt.

0 Vegyünk egy szalámit.
1 Vágjuk ketté, így kapunk 2db fele akkora szalámit
2 A két fél szalámi darabjait vágjuk szintén ketté. (goto 1)
3 Ha elég sokáig szeleteljük akkor egyre több de egyre véknyabb szeletejet kapunk.

Ha végtelen sokszor vágjuk ketté a fél szalámikat akkor végtelenül vékony szeleteket kapunk.
Egy idő után eltűnik a szalámi?

--
maszili

( pepo v | 2011. 10. 16., v – 06:50 )

A mi kis korlátolt agyunkban hisszük el, hogy a sok pici befogó átfogót eredményez. Valójában mindig lesz végtelennyi átfogó, melyek hosszúságának öszege gyök kettő.

Pontosan erről van szó!
Mivel a matematika nem tudja definiálni a végtelent, mert nem tudjuk felfogni sem.
A "végtelen" csupán egy szerencsétlen elnevezés.
Amivel a matematika operál, az a "véges határa" != "végtelen". (Ezt egy geometria prof magyarázta el nekem, mikor hasonlót kérdeztem.)

Így a megközelítésben csak azt lehet mondani, hogy : 2n*1/n=2, ahol n tart a véges határa felé. Ezzel igazoltuk, hogy bármilyen kis egységet válasszunk is, ha "egyet megyünk balra, és egyet fel", akkor két egységnyit mozogtunk. Ezt alátámasztja az az algebrai körülmény is, hogy 1+1=2 :)

---
"A megoldásra kell koncentrálni nem a problémára."

> Mivel a matematika nem tudja definiálni a végtelent, mert nem tudjuk felfogni sem.

Nincs összefüggés a definiálhatóság, és a felfoghatóság között. Pld (bizonyos értelemben) az ultrafiltert se tudja "felfogni" senki, ennek ellenére nem csak definiálni tudjuk, hanem azt is, hogy létezik ilyen (matematikai objektum). Ráadásul segít definiálni végtelen nagy számokat: http://hix.hu/arch/?page=issue&issueid=10069#3

> A "végtelen" csupán egy szerencsétlen elnevezés.

Helyesebben: szaknyelvi kifejezés, szakmai jelentéstartalommal. Ha zavar, nevezd "korlátlan"-nak.

( uid_2716 | 2011. 10. 16., v – 11:13 )

Pistike egy olyan L sorozatot definiál, amelyre (minden n pozitív egészre) L(n) := n * (2 * 1/n) = 2. Ez a sorozat konvergens (mert felülről korlátos és monoton növő, avagy alulról korlátos és monoton csökkenő). A határérték definíciójába 2-t helyettesítve (= bármekkora pozitív epszilonhoz van N küszöbindex, hogy N<n esetén |2-L(n)| < epsz) látszik, hogy a 2 határérték (bármekkora pozitív epszilonhoz az N=0 éppen jó lesz küszöbindexnek). A határérték, ha van (és ennek van), akkor egyértelműen létezik. (Ami indirekte van bizonyítva, a határérték definíciójával és két különböző határérték létezéséből kiindulva.) Mivel a határérték 2, így nem lehet gyök-kettő.

Egyébként:

A CA oldalt általánosabban is feldarabolhatjuk véges sok ponttal (az osztási pontokat megadó, (0, 1)-be eső valós együtthatókat tartalmazó halmazt "felosztásnak" is szokták nevezni, ha jól emlékszem, és [tau_n]-nel jelölik az elemeket -- valahol a Riemann-integrál körül jött elő). Bármilyen ilyen halmazt veszünk, az általa kijelölt lépcsős út hosszúsága változatlan. A véges felosztási halmazról áttérhetünk egyébként megszámlálhatóan végtelen felosztási halmazra is (például ahol a felosztási pontok 1/(2^n)-nél vannak, vagy ahol minden racionális együtthatónak megfelel egy felosztási pont), az út hossza akkor is 2 lesz. Ezt közvetlenül halmazelméletileg sajnos nem tudom most belátni (ahol nem sorozattal operálnak, hanem felosztó halmazok szuprémumával.)

( szilard_ v | 2011. 10. 16., v – 11:18 )

Ilyen feladvány nincs. Ezért megoldása sincs.

( horvatha | 2011. 10. 16., v – 14:31 )

Nem elég, hogy pontról pontra megközelít egy görbesorozat (a lépcsők) egy fix görbét (az átlót)! A sorozat tagjainak hossza nem fog a fix görbe hosszához tartani pusztán ezért.

A sorozat ívhosszai csak akkor tartanak a rögzített görbe ívhosszához, ha a görbesorozat tagjainak deriváltjai is a rögzített görbe deriváltjaihoz tartanak.

Azt hiszem, ezt valami Szoboljev-normában vett konvergenciának hívják.

Ez tehát nem paradoxon, csak egy tévedés: futhat két görbe egymáshoz nagyon közel, ha máshogy kanyarognak, az ívhossz különbözni fog.

Matematikus kollégák gondolom precízebben is meg tudják fogalmazni.

( Jason v | 2011. 10. 16., v – 15:34 )

Ájjunk le:

"Mindig A-ból indulunk.
1 egységet megyünk balra, majd 1 egységet felfelé, így eljutottunk A-ból B-be, összesen 2*1=2 egység megtételével."

De ez nem az átló! hanem a hosszabbik útvonal A-ból B-be a háromszög oldalai, mint élek mentén :-D
Ez a közelítés nem az átfogót közelíti, hanem az átfogóval közelíti a két befogót...
Nem tudom, van-e ennek neve, de szerintem Pistike hibás feltételezésből próbál valamit bizonyítani.