Matek segitség kérése fgv vizsgálathoz

Offtopic

Sziasztok!

A következő függvényt kellene vizsgálnom f(x)=(x^2)/(x^2-x-6)

A határértékre lenne szükségem a + végtelenben és a(-2)-ben balról
Paritásvizsgálatra, értékkészletre, szélsőértékre
És arra hogy mennyi f legkisebb és legnagyobb értéke [-1;1] intervallumban

Köszönöm a segítséget, néha eléggé szégyellem magam mennyire ostoba vagyok matekból! :/
A komplex számok már mennek, ennél akadtam el. :(

Illetve ha tudtok valami jó jegyzetet függvényvizsgálathoz azt is megköszönöm!

  • 1816 megtekintés

( radix | 2010. 06. 13., v – 21:45 )

nekem annak idején sokat segített, ha bettem függvényábrázoló programba a függvényt... És így láttam, hogy miről is van szó tulajdonképpen.

( agoston | 2010. 06. 13., v – 22:02 )

Derive nevű program használata javasolt...

( ihrwein | 2010. 06. 13., v – 22:04 )

Készülök az egyetemre, átnéztem a határéték számítást de már elfelejtettem. Deriválni még tudok xD Amúgy van a témában egy nagyon jó könyv: Bárczy Barnabás: Differenciálszámítás. Holnap átnézem a limest :)

root-tech.blogster.com

( Aadaam v | 2010. 06. 13., v – 22:21 )

L'Hospital szabaly...

Ketfele ember van: akinek ezt epp tudni kene papiron kiszamolnia, meg aki tudja hasznalni a programot. Ugy is mondhatjuk: egyetemista es vegzett :)

Mathematica, Maple, Matlab... De inkabb olvasd el a Konya-jegyzeteket a math.bme.hu -n.

( egeresz | 2010. 06. 13., v – 22:39 )

milyen szak hanyad ev?
A valasz nagyban fugg attol, hogy hol tanultad ezt.

egyes foiskolakon, ahol az mat.analizis nem fotantargy, hanem csak rutinbol nehezitik vele a jambor gepesz/konyvelo eletet, gyakran a tanar csak azt a szohasznalatot fogadja el, amit o ismer. Hiaba oldod meg egyebkent jol.

A szohasznalatod es a kerdesek erra utalnak, hogy kozepiskolaban/technikumban adtak fel ezt a feladatot. Vagy valami nem matek iranyultsagu foiskolan. Mondjuk a haterertek mintha nem lenne kotelezo kozepiskolaban, bar lehet.

Igazából Kandón megszereztem vagy három éve a matek aláírásomat, de nem vizsgáztam le belőle és a sulit félbehagytam. Most újra kezdtem és le kellene belőle vizsgáznom. :) Előadáson nem voltam, mert ugye az aláírás megvan, vizsgakurzuson vagyok. ZH-n anno teljes fgv. vizsgálat volt. Most csak ezeket kell megadni azt hiszem.

( tombenko v | 2010. 06. 13., v – 22:56 )

+1
+\infty
nem páros, nem páratlan
Im(f)=R
x=0 lok. max.
0
-0,25
Nézz el a könyvtárba, keress analízis témájú könyveket.
--
Fight / For The Freedom / Fighting With Steel

( bambano | 2010. 06. 14., h – 01:35 )

miért nem faragod át kicsit azt a függvényt? Ha
f(x)=(x^2)/(x^2-x-6) helyett az (x^2-x-6)/(x^2-x-6) + (x+6)/(x^-x-6) függvényt néznéd, akkor azt fejben is lehetne elemezni...
feltéve, hogy nem számoltam el fejben magam:)

( rpsoft v | 2010. 06. 14., h – 13:49 )

Mielőtt nekimész precízen, epszilondeltával, próbáljuk meg szemléletesen:
x->+végtelen: ez igazából nagyon könnyű, ugyanis, ha x nagy, akkor x^2 >> x >> 6, tehát a számlálóban ezeket elhagyhatom:
x^2/(x^2-x+6) ~ x^2/x^2 = 1, tehát x->végtelen esetén f(x) ->1

Most, hogy már tudjuk az eredményt, nézzük meg precízen, ugye f(x) = x^2/(x^2-x-6), ezt persze egyszerűsíthetem x^2-tel:
x^2/(x^2-x-6) = 1/(1 - 1/x - 6/x^2), és ekkor, mivel a reciprok 1-ben folytonos, a határértéket bevihetem, tehát elég azt tudnom, hogy x->végtelenben
1/x és 6/x^2 is nullához tart, tehát f(x) -> 1.

A -2-beli határértékhez: számláló véges, nevező nullához tart, tehát -2-ben csak +-2-höz tarthat. Balról nézzük, az előjelét kell még megnézni.

( Nyosigomboc v | 2010. 06. 14., h – 22:51 )

Mielott nekiesnenk: ERTELMEZESI TARTOMANY (ezert gimiben 1-est osztottak).
Gyok nincs benne, ezzel most nincs baj (gyok alatt nem lehet negativ ugye).
A nevezo nem lehet negativ.
x^2-x-6!=0
Ez egy szep masodfoku egyenlet, ahol ennek megoldasa van, ott lesz a fv-nek szakadasa.
Van erre egy megoldokeplet, abba behelyettesitve:
x1,2=(+1+-sqrt(1^2-4*1*(-6)))/2*1
gyok alatti resz: 25, ennek a gyoke 5
x1=3
x2=-2
Tehat 3-ban es -2-ben van szakadasa a fv-nek.
Ez segit abban is, hogy felirjuk a fv-t kicsit maskepp (a nevezot szorzatta bontva):
f(x)=(x^2)/((x-3)(x+2))
Latszik, hogy ha x=3-at helyettesites (vagy ha x=-2)-t, akkor a nevezo 0 lesz.
Eddig a human tagozatos gimis szint.

A +vegtelenben levo hatarerteket mar leirtak. Ahhoz az eredeti alak a legkenyelmesebb, x^2-el egyszerusites utan ugye:
f(x)=1/(1-1/x-6/x^2), ahol 1/x es 6/x^2 is 0-hoz tart vegtelenben, marad az 1/1, ami 1.
-vegtelenben igy nezne ki:
f(x)=1/(1-1/x-6/x^2), ahol az 1/x es 6/x^2 -vegtelenben is 0, tehat ott is 1-hez tart (nem tul meglepo modon).

A -2-0-beli hatarertekhez meg a felbontott alak a celszeru (mert ugye mar tisztaztuk, hogy itt szakadasa van):
f(x)=(x^2)/((x-3)(x+2))
f(-2-h)=((-2-h)^2)/((-2-h-3)(-2-h+2)) (ahol h->+0)
Itt ami nem 0, ott mind1, hogy jobbrol vagy balrol megy, es hogy egyaltalan ott van-e a h.. ezeket kiszamolhatjuk:
f(-2-h)=(4)/((-5)(-h))
Latszik, hogy a nevezo egy nagyon kicsi pozitiv szam, a szamlalo 4. Tehat +vegtelenbe tart. Ha jobbrol nezzuk, akkor a 4 es a -5 ugyanaz marad, csak a -h-bol lesz +h, szoval az elojele ellentetes lesz (-vegtelen a vege).

Megnezhetjuk, hogy mi lesz +3-ban is. Ott is az jon majd ki, hogy egyik oldalrol -inf, masik oldalrol +inf.
f(x)=(x^2)/((x-3)(x+2))
f(3-h)=((3-h)^2)/((3-h-3)(3-h+2)) (ahol h->+0)
f(3-h)=9/((-h)(5)) (ahol h->+0) tehat balrol -inf, jobbrol +inf.

Az ertekkeszletet most mar majdnem ossze tudjuk rakni (meg nem teljesen): -vegtelenben 1, aztan elindul +vegtelen fele, ahogy eleri -2-t, szakadasa lesz, hirtelen atkerul -inf-be. Elkezd noni valameddig (ezt egyelore nem tudjuk, hogy meddig), utana elindul megint lefele, es +3-ban lemegy megint -inf-be, majd atcsap +inf-be, elkezd csokkenni, mig +inf-ben eleri megint +1-et.

Probaljuk meg lederivalni (ilyet regen csinaltam, remelem nem irom el, fixme, ha megis).
Szerencsere nem nagyon durva, 1-1 db. polinom van a szamlaloban es nevezoben is. Erre az eredeti alak lesz a kenyelmesebb, akkor nem kell a szorzat derivaltjavan tokolni.
Segitsegul a keplet (ha jol emlekszem) a hanyados derivaltjara:
(szamlalo'*nevezo-szamlalo*nevezo')/nevezo^2
Nezzuk kulon-kulon a szamlalo es nevezo derivaltjait (gyakorlaskeppen):
(x^2)'=2x
(x^2-x-6)'=2x-1*1-6*0=2x-1
Akkor probaljuk meg az egeszet:
f'(x)=(2x*(x^2-x-6)-(2x-1)*x^2)/(x^2-x-6)^2
Ez jo ronda, egyszerusitsunk ahol lehet (meg vonjuk ossze az osszetartozo dolgokat):
f'(x)=(2*x^3-2*x^2-12x-2*x^3+x^2)/(x^2-x-6)^2 /**harmadfok kiesik/ =(-x^2-12x)/(x^2-x-6)^2
A szamlalo szep, a nevezo nem eppen. De a nevezorol tudjuk, hogy hogy nez ki: ((x-3)(x+2)(x-3)(x+2))
A szamlalo pedig: -x^2-12x=-x(x+12), szoval 0 es -12 gyoke (itt is lehetne masodfoku egyenlet megoldokepletet hasznalni, ha nem latszana kapasbol).

Szelsoertekvizsgalathoz az az erdekes, hogy hol 0, hol >0, hol <0.
f'(x)=0 ott lesz, ahol a szamlaloja 0 (es a nevezo nem az), szoval 0-nal es -12-nel. Tehat ez a 2 hely lehet szelsoertek (nem feltetlenul az, ha szakad, vagy valami mas disznosagot csinal, akkor nem, tehat ellenorizni kell).

Ezeken a helyeken az eredeti f ertek:
f(0)=0
f(-12)=144/(144+12-6)=72/75 <1

Nezzuk, mit csinal a derivalt a (-inf,-12) (nyilt) intervallumon:
Itt nincs gyoke, tehat vagy vegig pozitiv, vagy vegig negativ. Behelyettesitjuk mondjuk valahol hasrautesszeruen (lehetoleg konnyu legyen szamolni vele), es megnezzuk:
f'(x)=(-x(x+12))/(x^2-x-6)^2
f'(-100)=(100*(-88))/(10000+100-6)^2=-8800/10094 <0, szoval vegig negativ, csokken f(x) ezen a szakaszon.

(-12,0) kozt (mondjuk -1 jol nez ki):
f'(x)=(-x(x+12))/(x^2-x-6)^2
f'(-1)=(1*(11))/(1+1-6)^2=11/4 >0 itt vegig pozitiv lesz a derivalt, szoval no f(x) ezen az intervallumon (persze ez is szakad ott, ahol f(x), szoval esszel).

(0,+inf) kozt:
f'(x)=(-x(x+12))/(x^2-x-6)^2
f'(100)=(-100(112))/(10000-100-6)^2=-11200/(9894^2) <0, itt vegig csokken (a nevezovel igazabol nem nagyon kellett foglalkozni, mivel negyzeten van, csak nemnegativ lehet)

Akkor most rakjuk ossze a fv-t:
Kezdetben -vegtelenben 1, onnan -12-ig csokken, ahol 72/75 az erteke. Aztan elkezd noni, es -2-ben eleri +inf-et. -2 utan rogton atcsap -inf-be, elkezd noni egeszen 0-ig, ahol 0 az erteke is. Elkezd csokkenni, majd 3-ban eleri -inf-et, atcsap +inf-be, ahonnan folyamatosan no, egeszen amig +inf-ben eleri az 1-et.
Ertekkeszlete tehat: R. (ehhez eleg a (-12,-2) es (+3,+inf) intervallumokat vizsgalni)

Paritas: mivel -3 es +2 a ket szakadasa, nem lehet sem paros sem paratlan (de egyebkent is elegge aszimmetrikus). De eleg lenne az is, ha talalunk egy olyan x-et, ahol f(-x)!=f(x) es f(-x)!=-f(x), ami gyakorlatilag barhol teljesul 0-at es par pontot kiveve.

Meg nezzuk meg a [-1,1] zart intervallumat: a derivalton latszik, hogy [-1,0)-an no, (0,1]-en csokken, es 0-ban van egy maximumhelye (-12-ben minimumhely van). Tehat a kerdeses intervallumon a legnagyobb erteke 0-ban van, ahol 0 ez az ertek. A legkisebb erteket vagy -1-ben vagy 1-ben veszi fel, ezt a kettot kell megnezni, es amelyik kisebb, az a megoldas:
f(-1)=1/(1+1-6)=-1/4
f(1)=1/(1-1-6)=-1/6
Ezek kozul a -1/4 tunik a kisebbnek, szoval -1-ben veszi fel a legkisebb erteket, ami -1/4.

szerk: Igazabol tisztesseges ugy lenne, ha f'-at tobb helyen felbontanam az elojelvizsgalatnal, mert ahol f szakad, ott f' is. Igazabol nem kell sokkal tobbet szamolni (vagy ha megis, megindokolhato, hogy miert nem kell megsem megnezni azt az esetet).

--
What's the difference between the Israeli navy and Somali pirates?
If you negotiate with Somali pirates,you can prevent them from murdering their victims. - sickipedia