Kétváltozós függvény határértéke

Offtopic

Szevasztok!

Nagyon jó lenne egy kis segítség. A helyzet az, hogy a következő hatérértéket kellene kiszámítanom, jobban mondva bizonyítanom, hogy egyenlő 0-val:

lim(abs((x^2+y)*sin(x+y)+PI*(x+y-PI))/sqrt(x^2 + (y - PI)^2)), ha (x, y) -> (0, PI)
>Kép<

Ugye ez így "0/0" alakú, és nem igazán tudom hogy mit kezdjek vele.

Minden segítségnek nagyyon örülnék.

Előre is kösz!

  • 1834 megtekintés

Sajnos tudtommal a L'Hospital nem alkalmazható kétismeretlenes függvényekre. A helyzet az, hogy a keresett határérték sejthetően 0 lesz, de nekem bizonyítanom kellene. Matlab-ot annyira nem ismerem, de szerintem nem ad korrekt bizonyítást.

Egyébként az eredeti feladat az volt, hogy bizonyítsam a f(x,y)=(x^2+y)sin(x+y) függvény differenciálhatóságát a (0,PI) pontban, de sajnos itt elakadtam.

( vl v | 2011. 04. 06., sze – 17:55 )

Ha létezik olyan epszilon, hogy amikor mindkét változó epszilon távolságon belül van, akkor mindig igaz lesz az az egyenlőtlenség, hogy a számláló kisebb a nevezőnél, akkor ez bizonyítja, hogy a határérték nulla.

Egyébként klasszikusan a legegyszerűbb megoldás az szokott lenni, ha egyszerűsítesz alul-felül, azaz találsz olyan függvényeket, amik alulról ill. felülről közelítik a megadott alsó ill. felső kifejezést, és amikre könnyen belátható az egyenlőtlenség.

Igen, teljesen fals volt az az elképzelés...
Ugye azt kéne bizonyítani, hogy bármilyen kicsi deltához van olyan epszilon, hogy ha mindkét függvényparaméter epszilonon belül van a célhoz képest, akkor a függvény, a tört, deltán belül van a határértékhez, a nullához képest. Azaz számláló / nevező < delta, ami átírható számláló < nevező * delta alakba.