[megoldva] matek feladatok

Flame

Kaptam levélben pár feladatot, hogy segítsek már megoldani, de bevallom vagy lövésem nincs már róla vagy elakadtam a megoldás közben vagy soha nem is találkoztam ilyen feladattal. Amúgy is rég matekoztam már. ;) Remélem a közösség segít a megoldásokban vagy az oda vezető út megtalálásában. Előre bocsátva: ezek nem az én feladataim, én is csak segíteni szeretnék. Ilyen google linkeket, meg könyvajánlókat és barátaikat a témában most mellőzzünk, ha kérhetem.

1) P pont és S sík távolsága? ahol P: (3, 4, 5) és S: x = 1 - t + s, y = 3 + t + 2s, z = 4 + 2t - 3s
ezzel nem tudtam hirtelen mit kezdeni
megoldva és ellenőrizve

2) Komplex számok halmazán megoldandó egyenlet. Gyökei? z^3 * (z - 3) - 3 + z = 0
ezzel se
megoldva és ellenőrizve

3) sorozat határértéke? ((2n + 3)^5 * (18n + 17)^15) / (6n + 5)^20
tippre ez úgy 0
megoldva és ellenőrizve

4) konvergens sor? szumma(n=1-től +végtelenig) 2^n/n^n
tippre igen
megoldva és ellenőrizve

5) sor összege? szumma(n=1-től +végtelenig) (2n + 1) / (n^2 * (n + 1)^2)
megoldva és ellenőrizve

6) függvény szintfelülete? f(x,y,z)= 1 / (x^2 + y^2 + z^2)
na ezt sem tudom, hogy mi
megoldva és ellenőrizve

7) polinom zérushelyei, előjele és határértéke +végtelen és a -végtelenben? P(x) = -6x^5 + 36x^4 + 240x^3
Ez addig rendben, hogy -6x^3-t kiemelve lesz belőle -6x^3*((x-10)*(x+4)), innen meg adódik három gyök: 0, 10, -4. Ezek lesznek a zérushelyei, ha jól gondolom. De hogyan tovább?
megoldva és ellenőrizve

+1) Legyen az S sík (t, s) 2 pontja: A(3,1) és B(2,2) és C az e egyenes t=-1 paraméterű pontja.
S: x = -6 + t + s, y = 6 - t - 2s, z = 12 - 4t + s
e: x = 4 - t, y = 7 + t, z = -1 - 3t
ABC háromszög szögei?
Az addig megvan, behelyettesítem az egyenletbe a megadott adatokat és kapom, hogy A(-2, 1, 1) és B(-2, 0, 6), C(5, 6, 2). Innen hogyan tovább a szögek irányába?
megoldva és ellenőrizve

-----------------------------------------
Nem sorolnék fel mindenkit egyesével, aki hozzájárult a feladatok megoldásához, hanem inkább kollektíven megköszönném ezúton is mindenkinek a segítségét. Köszönöm szépen!

  • 4020 megtekintés

( _Borisz_ | 2010. 12. 05., v – 20:36 )

2. feladat:
z^3 * (z - 3) - 3 + z = (z - 3)*(z^3+1) = (z-3)*(z+1)*(z^2-z+1)
Így az egyenlet gyökei: 3, -1, (1+√3)/2 és (1-√3)/2
--
"my mind had skipped town and left me behind to pay the rent"

( hnsz2002 v | 2010. 12. 05., v – 20:36 )

2) Már elfelejtettem, hogy kell megoldani az ilyet :)
3) Igen, a hatvány itt a legerősebb művelet, és a nevezőben a ^20-on miatt 0-hoz fog tartani.
4) Az előzőhöz hasonlóan, n^n-en sokkal gyorsabban nő, 0-hoz konvergál.
5) Szerintem 1.
--
Discover It - Have a lot of fun!

A lényeg racionális törtfüggvények végtelenben vett határértékénél.:

  • amennyiben a számláló főtagjának a kitevője nagyobb, mint a nevezőé, a határérték +(-) végtelen, a főegyütthatók hányadosának előjelétől függően
  • amennyiben a nevező főtagjának a kitevője a nagyobb, úgy a határérték 0
  • amennyiben a két kitevő megegyezik, úgy a határtérték a két főegyüttható hányadosa

Esetünkben a harmadik lehetőség él, mivel a számláló főtagjának kitevője is 20, és a nevezőben is. Így a két főegyüttható hányadosa a megoldás. Azaza 2^5*18^15/6^20. És 32^5 = 32.

Próbálom a gondolatmeneteket felfogni, hogy ki miből hogyan számol. És az elütések megkavarnak, mert nem találok összefüggést két lépés között. De ez a levezetés is stimmel, abszolút igazad van, így már nem hiányoznak lépések az én fejemben sem ebből a levezetésből. Köszönöm!

( uhlaci | 2010. 12. 05., v – 20:49 )

4. esetleg gyök-kritérium? (Már ha kell indoklás is :-) )

( _Borisz_ | 2010. 12. 05., v – 20:52 )

3. feladat:
3^10 lesz a határérték +végtelenben. Fel kell bontani a számlálót és kiderül, hogy az is 20-adfokú polinom n-ben, így a számláló és nevező főegyütthatójának hányadosa lesz a határérték.
--
"my mind had skipped town and left me behind to pay the rent"

Nekem 3^10 alakban jött ki, mert lusta voltam számológépet keresni :)
Miután látszik, hogy mind a számláló, mind a nevező 20-adfokú, így elég az főegyütthatóikkal számolni.
(2^5 *10^15)/(6^20) = (2^5 * (2*3^2)^15 )/ ((2*3)^20) alakba átírtam, majd egyszerűsítések után ki is jött a 3^10.
--
"my mind had skipped town and left me behind to pay the rent"

A 10^15-en hogy jött ki?
Mert a (2n+3)^5 esetében megvan a 2^5, a (6n+5)^20 esetében is megvan a 6^20-on, de (18n+17)^15-ből hogy lesz 10^15?
Á, értem, elírás lesz az, mert a következő részben már (2*3^2)^15. Az akkor ugye 18^15-ből jöhetett, így már értem. Az egyszerűsítés mikéntje még nincs meg egyelőre.

( pandarosz | 2010. 12. 05., v – 21:04 )

7)
a) A gyökök egyben zérushelyek, tehát helyes: -4, 0, 10.
b) A P(x) előjele -4-ig pozitív, -4 és 0 között negatív, 0 és 10 között pozitív, 10 felett negatív #egyszerűen behelyettesíted mondjuk x=-5tel, és látszik, vagy pl. ajánlom az extcalc számológép függvényábrázolóját
c, limP(x) x-> +végtelenhez = -végtelen és limP(x) x-> -végtelenhez = +végtelen

De így legalább már folytatódik a pozitív y mentén is. Nekem is ilyesmi jött ki, ezért volt érdekes, hogy az első képeden a 10-esnél nem húzta tovább a piros vonalat felfelé, ha jól láttam. Ez így viszont nekem is kijött, úgyhogy egyezés. :)
Köszönöm szépen!

( _Borisz_ | 2010. 12. 05., v – 21:16 )

1. feladat:
A sík egyenlete: -7x-y-3z=-22, ennek a normálvektora n=(-7,-1,-3). Fel kell írni a P ponton átmenő n irányvektorú egyenes egyenletét, ezt megoldani egy a sík egyenletével, ekkor kapsz egy T pontot. A P és T távolsága lesz a P pont S síktól való távolsága.
--
"my mind had skipped town and left me behind to pay the rent"

Az S sík q+t*v1+t*v2 alakban van megadva, ahol a t,s a paraméterek.

(x,y,z)=(1 - t + s, 3 + t + 2s, 4 + 2t - 3s) = (1,3,4)+t*(-1,1,2)+s*(1,2,-3)

Tehát q=(1,3,4), v1=(-1,1,2), v2=(1,2,-3). A v1 és a v2 vektorok az S síkban vannak, ezek vektoriális szorzata a síkra merőleges vektor lesz. Ezt belsőleg szorozva az (x,y,z) vektorral kapod az egyenlet baloldalát, míg a q vektorral belsőleg szorozva pedig a jobboldali konstanst.
--
"my mind had skipped town and left me behind to pay the rent"

Köszi a magyarázatot.

Azt jól gondolom-e, hogy ha S: -7x - y -3z = -22, akkor annak normálegyenlete -7/22*x - 1/22*y - 3/22*z + 1 = 0?
Mert ha igen, akkor elvileg a P pont koordinátái (3, 4, 5) behelyettesíthetőek a normálegyenlet bal oldalába és így meg is lesz a távolság. Ami (-7/22)*3 - (1/22)*4 - (3/22)*5 + 1 = -18/22 = -9/11.
Ahol az előjel azt jelzi, hogy a sík melyik oldalán van. Ez így jó?

szerk: jobban mondva az |-9/11| lesz a távolság.

( tetra | 2010. 12. 05., v – 21:16 )

7: ezt igazából inkább úgy írd fel, hogy -6*(x)*(x)*(x)*(x-10)*(x+4), és akkor mindjárt látszik, hogy a 0 gyöknek hármas a multiplicitása. Mivel a legnagyobb hatvány negatív, és páratlanadik hatványon van, ezért tudjuk, hogy +végtelenben negatív lesz (és végtelen, tehát -végtelen), másik irányban meg fordítva.
----
Hülye pelikán

( _Borisz_ | 2010. 12. 05., v – 22:28 )

A 6. feladatnál csak ennyi van megadva?
--
"my mind had skipped town and left me behind to pay the rent"

( uid_18247 | 2010. 12. 05., v – 22:43 )

elsőre vonatkozó összefüggés 10 sec alatt nem jutott eszembe, úgyhogy azt meghagyom :) (de istenbizony nem nehéz)

második: http://www.wolframalpha.com/input/?i=z^3+*+%28z+-+3%29+-+3+%2B+z+%3D+0 nyomozni kell egy kicsit az eredmény után :)

harmadik: http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%282n+%2B+3%29^5+*+%2818n+%2B+17%29^15%29+%2F+%286n+%2B+5%29^20 alsó sor

negyedik: http://www.wolframalpha.com/input/?i=2^n%2Fn^n (igen, konvergens, bár nem íródik oda explicit módon)

ötödik: http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum%281..infinity%282n+%2B+1%29+%2…^2+*+%28n+%2B+1%29^2%29%29

hatodik: marha régen tanultam a felületszámítást, de riemann-integrálással megoldható.

hetedik: http://www.wolframalpha.com/input/?i=-6x^5+%2B+36x^4+%2B+240x^3 (itt sincs explicit válasz a kérdésedre)

hajrá!

update: ezek nyilván csak nyers eredmények, a levezetést simán megoldod, sok infót ad az alpha

( erdohegr | 2010. 12. 06., h – 18:25 )

up

hátha valaki még hozzá tud tenni valami a témához

( vol4 | 2010. 12. 06., h – 18:45 )

6.)

f(x,y,z)= 1 / (x^2 + y^2 + z^2) = állandó =: C, így x^2 + y^2 + z^2 = 1 / C = állandó =: C', azaz x^2 + y^2 + z^2 = C', ezek pedig origó középpontú gömbfelületek.

Az f(x_1, x_2, ..., x_n) n-változós függvény szintfelületei az f(x_1, x_2, ..., x_n) = konstans felületek, esetünkben 1 / (x^2 + y^2 + z^2) = állandó = C, ezért x^2 + y^2 + z^2 is állandó, mégpedig 1 / C = C'.

Szerk.: Ha C' végigfut a valós számok halmazán, akkor a C = 1 / C' is. Itt C' = 0 ugye nem lehet, de C' = 0 csak az origóra igaz (x^2 + y^2 + z^2 = 0 acsa, ha x = 0 ÉS y = 0 ÉS z = 0), az pedig nem része az f(x, y, z) értelmezési tartományának.

( DieHappy | 2010. 12. 06., h – 19:10 )

1) P pont és S sík távolsága? ahol P: (3, 4, 5) és S: x = 1 - t + s, y = 3 + t + 2s, z = 4 + 2t - 3s
ezzel nem tudtam hirtelen mit kezdeni

Sik egyenlete szebben (x, y, z ) = (1, 3, 4) + (( -1, 0 ) , (1,2 ), ( 2, -3) ) * (t,s) = v_orig + M*(t,s)

Ez az M 3x2-es matrix ket 3-masvektort tartalmaz, ezekre kell keresni egy harmadik, meroleges vektor (grahm-schmidt ortogonalizacio) : Venni kell egy vectort, aminek nem nulla a szorzata M1 es M2-vel es azokat levonni belole. Pl v0 = (1,1,1)

v1 = v0 - v0*M1/norm(M1)
v2 = v1 - v1*M2/norm(M2)

Ha v2 veletlenul nulla vektor lenne, akkor mas v0-at kell valasztani. Ez a v2 mar a sik normalvektora. Egysegre erdemes hozni, legyen a neve w = v2/norm(v2) . Ha ez megvan, akkor a P oint siktol valo tavolsaga mar nagyon egyszeru, csak egy kivonas es egy skalaris szorzas: tav = (P - v_orig) * w

A linkelt oldalon az x0 pont az a mi P pontunk, a síkra merőleges v=(a,b,c) vektor a mi esetünkben pedig a (-7, -1, -3).

Addig megvagyunk, hogy az S sík egyenletét a linkelt oldalon (1)-nél jelölt alakúra átírtuk.

Ezután a (9)-nél található képletet kell alkalmazni, azaz a sík (1)-nél látható egyenletébe beírod a P koordinátáit, veszed a kapott eredmény abszolút értékét végül pedig a v=(-7,-1,-3) hosszával leosztasz.
--
"my mind had skipped town and left me behind to pay the rent"

A fenti jelöléssel:
AB az A pontból a B-be mutató vektor, vagyis a B-A=(-2, 0, 6)-(-2, 1, 1)=(0,-1,5) vektor. Ugyanígy számolandó AC, azaz a C-A vektor is.
A háromszög A csúcsánál lévő szöge az AB és AC vektorok által bezárt szög lesz, míg a B csúcsnál lévő a BA és BC vektorok szöge.
--
"my mind had skipped town and left me behind to pay the rent"

Ezt a gondolatmenetet még végigvezetem magamban és megnézem mi jön ki, köszönöm.

A 4) és 5) pontokra esetleg van valami ötleted?

Mert a 4)-esre már olvastam itt, hogy a gyök kritérium megmutatja, hogy mitől konvergens vagy egy másik is volt, hogy a majoráns kritérium miatt.
Az 5)-ösre pedig volt egy felvetés, hogy 1, a wolfram is azt mondja, de van valami ötlet, hogy miért vagy valami tétel, ami megmagyarázza?

4. Gyökkritérium szerint egy sor esetében amennyiben (nedik gyök (a_n)) határértéke 1-nél kisebb, úgy a sor konvergens. mivel itt n-edik gyök (2^n/n^n) = 2/n, és lim 2/n = 0, ezért a sor konvergens. Bővebben lásd: http://hu.wikipedia.org/wiki/Gy%C3%B6kkrit%C3%A9rium

5. Ez bizonyítható teljes indukcióval, a sor összegére. Mindjárt megcsinálom a PDF-et belőle.
Szerk: https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=explorer&chrome=true&srcid=0BwCu…

Szerk2: Az utolsó lépést persze megint elírtam, a nevezőben természetesen (k+2)^2 kell legyen.