A "π" :) - a "pi"

Közösségi kerekasztal

Megkérhetném a nagyközönséget, hogy mondjon bármi "érdekességeket" a π-ről ["pi"]? :) [bizonyítástól kezdve történelmi dolgok, stb]

Egy szakdolgozathoz kéne a barátnőmnek.

Csak gondoltam itt van nem 1-2 matekos vérrel rendelkező emberke, aki esetleg tud olyat mondani, amiből kiindulva lehetne egy pár oldalt pluszban írnia. :) [sum 50 page kell neki]

Előre is tényleg hálásan köszönöm!!

  • 7922 megtekintés

A szerelem nyilasa megfelezve! (Erse qr es Puspo qr)

vagy hogy ontopikok legyünk, Rozsa-kerteszmernok-mikrofonfej-Djorgy (LGee, figyelem!) egy kviz megoldasakent igazolta, hogy 22/7-del egyenlo a PI a tevebe' mer' a teve mindig igazat mond. Erre ELTE-TTK Szamelmelet es algebra tsz. dr. Freud Robert valoban okos, meg altalam is nagyra tartott ember kiigazitotta levelben diplomatikusan es felhaborodva. Rozsa Gyorgy (nem az Eduardo-szivarogtato-oszodi, hanem meg mindig a kerteszmernok-riporter, akirol eddig is szo volt) a helyreigazitasi kerelemnek es a levelben foglaltaknak "eleget teve" kovetkezo kvizadasban, hogy a PI irracionalis, mas szoval transzcendens. Na itt kovetett el szeppukut a teljes Szamelmelet es algebra tsz.

http://www.youtube.com/watch?v=QXz7-BNC6jw
http://nocirc.org/

( miqlas | 2010. 10. 27., sze – 00:12 )

Az N a latin ábécé 14., a magyar ábécé 22. betűje. Számítógépes használatban az ASCII kódjai: nagybetű – 78, kisbetű – 110.

( blr v | 2010. 10. 27., sze – 00:14 )

Hehe, mindenki "n"-nek látja?
Szerencsésebb lett volna kiírni, hogy "pi" :) (Windows alatt Verdanából jelenik meg, és abban a Pi-t az n-től elég nehéz ilyen kis betűméretnél megkülönböztetni.)

Magyarázd el a körnek, hogy mi az a gömb...
Talán indulj el a következő gondolatmeneten:
mi az a grand unified theory?
ki tudna profitálni belőle?
milyen kihatással lenne a pénzvilágra? És minden másra?
vajon ha valaki tényleg rájönne, akarná-e még tudni?
egyáltalán, fel képes fogni az emberi elme egy olyan grandiózus dolgot, aminek ő is csupán egy kis része?
...és hasonlók. Egy csomó remek kérdés, amit a film feszeget, és bizonyos értelemben próbál megválaszolni.

nekem leginkább a koponyámat feszegette :)
ahogy mondod sok érdekes dolog van benne csaképp a csomagoló papír alaposan be lett áztatva valami extra anyagba :)

(akartam valami anyagot mondani de nem vagyok otthon ebben, ha laki kiisegítenie.. :) talán 100 adag koffeinlsd-vel keverve )

( egeresz | 2010. 10. 27., sze – 00:21 )

kedvencem:

Euler:
e^iπ = -1
"Be tudom bizonyitani, de nem ertem" ( wikipedia szerint ezt mas mondta)
A ket legnevezetesebb transcendens szam kozotti (eleg szoros) osszefugges.

az hgy az emberek csak a valós számokat tudják elképzelni, (mivel nem léteznek azokat is csak elképzelni lehet, létezni max a természetesek léteznek) a képzetesek elképzelhetetlenek

mi az hogy egy pozitív számot önmagával szorozgatunk és negatív lesz, jujj

ami miatt viszont a képzettebbeknek ez nem túl érdekes az az hogy egyszerűen így lett _definiálva_ a hatványozás kiterjesztése

es miert igy lett definialva. Megiscsak erdekes ez.

Szamolas nelkuli magyarazkodas:
Van egy fugveny, mindegy mi: e^x, sin(x), cos(x) tan(x) tenyleg mindegy. Nos, ez igy szamolhatatlan, mert az emberek osszeadni/szorozni tudnak. viszont ezeket is ki kellene szamolni. Van ezeknek ugynevezet Taylor polinomja, ami (nagyjabol) ugy nez ki, hogy a+bX+cX^2+dX^3+eX^4.....
Ez mar szamolhato, kar, hogy vegtelen. de sebaj, mert a vege egyre kevesbe erdekes (az egyutthatok erosen szaladnak a nulla fele). Oks, ezt hasznaljak es tudjak a matematikusok. Node az az erdekes, hogy a kovetkezo ket fuggveny:
e^x, amit ugy definialunk, hogy a termeszetes alapu exponencialis (sima hatvanyozas)
sin(x) amit ugy definialunk, hogy az X szogu 1 atmeroju derekszogu haromszog szoggel szembeni oldala
szoval ennek a ket fuggvenynek a Taylor felbontasa nagyon-nagyon-nagyon hasonlit egymashoz.
Ennyire: e^iX = cos(X)+i sin(X)
Ez szimplan latszik a felbontasbol. Na de miert? Miert van az, hogy a matematika ennyire ket kulon agabol terben es idoben nagy kulonbseggel definialt fuggvenyek ennyire kozel vannak egymashoz?

Az exponencialisok komplex sikra valo kiterjesztese egyebkent pont a Taylor felbontason alapul, marmint, hogy a Taylor felbontas maradjon meg, es legyen ervenyes. Ugyanezzel az otlettel szamolhatsz az e^matrix -ot is. Tehat azon tul, hogy
e^iPI = -1
"mert igy lett definialva"
a komlex kitevo definicija nem legbolkapott, a definicio ertelmes, es adja magat mas uton, es akkor egyszercsak kiesik belole ez a keplet.

kicsit nagyot ugrottál a taylor sorról a célra, hirtelen bekerült a levegőből az az i betű ;)

a két taylor sornál egyáltalán nem triviális hogy lehet hasonlóvá tenni, az hogy feltűnhet hogy szintaktikailag ha csak beszúrjuk az i betűt az jó lesz, az más kérdés, tényleg voltak szempontok amikor definiálták a komplex hatványt *

nem azt mondtam hogy légbőlkapott csak hogy pont annyira érdekes ez az "összefüggés" (definíció) mint a tört kitevő léte

*ps: igenis lehetett volna másképp _definiálni_, az hogy az volt két függvény ami véletlenül épp a páros és páratlan kitevőkkel kiegészítette egymást nem hogy semmit nem jelent mert miért pont a sin és miért pont a cos? lehetett volna más fvnyeket keresni, de ráadásul még az előjelek sem stimmeltek, az más kérdés ha épp jó helyre tesszük az i-t akkor pont jó lesz, de más fv-ekkel máshova téve az i-t szintén lehetne jó

tehát nem annyira a taylor sor miatt, ami inkább csak következmény, hanem inkább ha már a természetet hozzuk be akkor polárkoordináta jelleg jön be a képbe mint átváltás rendszerek közt (a természetben a mozgás meg az elfordulás együtt jár, nem csak hagyományos térben, hanem a mérőszámok terében is, és innen jön hogy ha már sokat forgatok akkor negatív tolás lesz az eredménye)

egy másik ok amiért ezt szokták szépnek nevezni (tehát az negatív hatványeredmény "érdekességén" túl) az hogy szintaktikailag csakis és pontosan a legnevezetesebb számok szerepelnek benne: 0, 1, e, pi (az már hogy hogy van összeadás, szorzás, hatványozás, az nem is számít:) )

nem :)

így lett definiálva, lényegében a semmiből, olyan megontolások után hogy ez így jó lesz:
http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.euler.equation.html
http://www.cs.uwaterloo.ca/~alopez-o/math-faq/mathtext/node13.html

ps: persze ha arra gondolsz akkor igen, a konkrét definíció e^xpi=cos(x)+sin(x)i egy speciális esete az a szép képlet, de ez a speciális eset része a definíció okának

Majdnem.

Ikabb ugy fogalmaznak, hogy a sin() derivaltja cos(), annak derivaltja -sin() annak derivaltja -cos() annak derivaltja sin().

Tehat a sin() egy olyan fuggvemy, aminek negyedik derivaltja onmaga. Ilyen fuggveny meg az e^() is. Mondjuk annak minden derivaltja onmaga, a sinusnak meg csak minden negyedik. A konstans nullanak is miniden derivaltja onmaga :-)

Onmagaban azert is meglepo, mert a derivaltsag definicioja mashonnan jon, mint az e definicioja, es megint mashonnan, mint a sinus (es a pi) definicioja.

Erdekes ez, hogy a masodik derivaltja az ellentetje. A derivaltaknak koze van a hatvanyossaghoz (X^n derivaltja 1/n * X^(n-1)) ha ebbol a szempontbol nezed, akkor ez a negyzetgyok(-1) is nagyon gyorsan a kepbe tud jonni. Csak ossze kell rakni 3 teljesen mashonnan jovo resztudomanyt egyetlen kepletbe. Meglehetos batorsaggal.
Most mar trivialisnak (illetve definicioszerunek) tunhet, de ez tortenetileg egyaltalan nem olyan nyilvanvalo.

Ha eⁿ-t nem úgy definiálod, hogy a termeszetes alapu exponencialis (sima hatvanyozas) aminek nincs is értelme, mert miért pont ez a fura szám? hanem úgy hogy az a függvény, ami x értéknél azt az y-t veszi fel, ami az adott pont beli érintőjének a meredeksége (vagy 0-tól addig összegyűlt terület, ez megmutatható, hogy ekvivalens) tehát az y'=y differenciál egyenlet egy partikuláris megoldása (C=1). ezt volt nagyon okos dolog kiszámolni. itt van a komplexitás nagyrésze.

másik ág. az szintén könnyen megmutatható, hogy a complex számok leírhatóak így: z = r*cos(n) + r*sin(n)*i
vegyük az egyszerű esetet, amikor r = 1 (és nem tudom, hogy innen kinek jutott eszébe, hogy deriváljuk mindkét oldalt. ez volt a zseniális lépés az egészben)
z = cos(n) + sin(n)*i
dz/dn = -sin(n) + cos(n)*i // itt észrevesszük, hogy -1*valami = i²*valami, majd kiemelünk i-t
dz/dn = i(sin(n)*i + cos(n)) // itt észrevesszük, hogy ez az eredeti z szorozva i-vel
tehát z' = z*i ezt megoldva:
z = Ceⁱⁿ
továbbá kihasználva, hogy amikor n = 0, akkor cos(0) + sin(0)*i = 1
C = 1 ugyanis i*0=0 és e⁰=1 és ahhoz, hogy C*1=1 igaz legyen, C-nek egynek kell lennie. így könnyen látszik, hogy

cos(n) + sin(n)*i = eⁱⁿ

---------------------------------------------------------------------------------------
Unix is simple. It just takes a genius to understand its simplicity. — Dennis Ritchie

Hát, ez azért nem teljesen tiszta és szép. A z=r (cos(phi)+i sin (phi)) csak egy jelölésmód, miután a sin(x)-et exp(ix)-exp(-ix)/2i-ként definiálod, a cos(x)-et hasonlóan.
exp(x) definíciója pedig sokkal természetesebb hatványsorral, ugyanis az mind komplex, mind valós esetre jól definiált, a differenciálegyenletes definícióhoz komplex differenciálegyenletek kellenek, máskülönben exp(i*pi) definiálatlan, mert i*pi nem valós szám. Így persze a "0-tól addig összegyűlt terület" is értelmetlen kifejezés.
Szimbolikusan persze szép ez a levezetés, de valójában nem sokat ér, a cos, sin, exp valódi természetéről és összefüggéséről nem mond semmit. Hasonló ez Euler summa(1/n^2) = pi^2/6 bizonyításához, szép az szimbolikusan, de nem pontos, ugyanis olyan műveleteket végez el sorokon, amelyek nem mindig végezhetők el, csak sok bizonyítás után.

A masik ilyen problema: egy szamot nem tudsz derivalni, igy azt az azonossagot, hogy z=r (cos(phi)+i sin (phi)), nem derivalhatod, hiszen mindket oldalon szam van. Ha azt mondod, legyen phi valtozo, attol meg a bal oldal csak egy szam marad, ez nem fuggvenyegyenlet, amit derivalni lehet. Mondom, szimbolikusan szep, de matematikailag nem korrekt.

( egeresz | 2010. 10. 27., sze – 00:24 )

mult elotti szazadban volt veszekedes abbol, hogy mennyi az erteke. Valami kevesbe kompetens torvenyhozas el is rendelte, hogy marpedig az erteke 4.
Mondjuk engem erdekelne, hogy hogyan volt kepes egy egyertelmuen kockaknak valo kerdes kozossegi problemava noni.

( gd | 2010. 10. 27., sze – 00:33 )

"What is Pi?"
A mathematician: "Pi is the ratio of the circumference of a circle to its diameter."
A computer programmer: "Pi is 3.141592653589 in double precision."
A physicist: "Pi is 3.14159 plus or minus 0.000005."
An engineer: "Pi is about 22/7."
A nutritionist: "Pie is a healthy and delicious dessert!"

( N_and_Y | 2010. 10. 27., sze – 09:19 )

Szerintem Carl Sagan is eléggé szépen körbejárta:

http://en.wikipedia.org/wiki/Contact_%28film%29
http://www.imdb.com/title/tt0118884/

Onnan, hogy Dr. Arroway - kislányként - elkezd ismerkedni a π-vel, és rájön, hogy az sok módon kapcsolódik a végtelen fogalmához; addig, hogy .. uhh, inkább nem spoilerezek, a film legnagyobb hibája, hogy nem merte bevállalni a könyv végét..

( arpi_esp v | 2010. 10. 27., sze – 11:04 )

ha jol tudom meg mindig az a Fabrice Bellard tartja a rekordot a legtobb pi szamjegy kiszamolasaban, aki az ffmpeget (mplayer alapja) es a qemu-t irta.

http://bellard.org/pi/pi2700e9/

A'rpi

ahogy előttem írta szemet, de nem tudom megállni:

régen sok hsz volt ami a a topikbeli linkre még csak rákattintást sem sejtették nemhogy értő elolvasását

aztán jött hogy a topikot sem olvasták el

most már az a divat jön hogy a saját linkjén lévő lényegében egyetlen mondatot sem olvassák el?

:DD

( Jester_Racer | 2010. 10. 27., sze – 11:54 )

Valaki árulja már el, valami értelme is van annak, hogy folyamatosan számolják a pi pontosabbnál pontosabb értékét?
Fel akarják/tudják használni valahol? Vagy csak e-penis kategória?

e-penis, de tul ezen sok egyebre is jo (edukativ, parhuzamositas tesztelese es gyakorlasa, egyeb algoritmusok, bignum-implentaciok tesztele'se, ...). szoval kozvetve sokmindenre jo (mint programozoi-informatikai kihivas), kozvetlenul valszeg semmire. najo, kozvetlenul talan arra, hogy ha az ufo-knak kuldott uzeneteinkbe beleepitjuk a pi-t, akkor lathatjak hogy talan annyira nem vagyunk segghulye'k. legalabbis a szereny szvsz-em szerint.

( egmont | 2010. 10. 28., cs – 01:00 )

Azt ugye tudjátok, hogy mi a térfogata egy z sugarú és a vastagságú pizzának? :)

( gbor | 2010. 11. 03., sze – 15:01 )

utolsó előtti bump :P [sorry :\]

--

( skully | 2010. 11. 03., sze – 15:31 )

2 * pi = tau

--
Microsoft gives you only Windows while Linux gives you your own /home!

Mond valamit a srác.

Gépészként a középiskola idejének nem kis hányadát fokból radiánba (vagy vissza) váltásokkal töltöttük, ahogy a feladat megkívánta, és a magvasabb darabokban, amelyekben az ember a rutinszerű dolgokat szokta elcseszni - mert a többire méteresre tágult pupillákkal figyel - nem ritkán a 2-es maradt le, vagy került rossz helyre.

( gbor | 2011. 02. 13., v – 16:50 )

Utolsó bump

Köszönet az összes hozzászólónak!!! :))

( bAndie9100 | 2011. 02. 13., v – 19:16 )

pi = 4/1 - 4/3 + 4/5 - 4/7 + 4/9 ...

azaz

~~~~~~~~
De ezt az egy lépést ki nem tevé,
Az nem tett semmit, nem tud semmit is.

Ezeket imádom, az emberben mindig felmerül a kérdés de miéért?
A best of akkor is marad a legfontosabb nevezetes számok egy egyenletben.

Amúgy ez már babiloni korokban is ismert összefüggés volt, nem számolták ki túl sokáig de így is elég jól közelítették a pi-t.

Szerintem nem feltétlen úgy értette, hogy nem érti mondjuk a bizonyítását (ami kis tanulással nem lehet probléma), hanem hogy: "nem értem = még mindig elkápráztat a tény"

azaz nincs úgy, hogy ezek a sorozatok és a Pi a fejében egyértelműen és közvetlen módon azonosak, szóval ha elképzeli a Pi-t akkor új meg új természetesen igaz sorozat jusson róla eszébe olyan Ramanujan stílusban vagymi

épp ahhoz kell pár félév hogy megértse, hanem hogy ne elkápráztassa, mondjuk úgy magától értetődő legyen

maga bizonyítás megértéséhez nemhogy félévek nem kellenek, pár óra alatt meg lehet érteni egy gyenge gimis ismerettel, ahonnan még kápráztatni fog, hiába papíron látja miért van úgy

Ugyan, normalis gimiben mar tanul az ember haterteket meg nemi komplex szamokat, es Taylor-sort is (legalabbis fakton mi vettunk). Ha ez van, exponencialis fuggveny is van, akkor pedig trigonometrikus fuggveny is van. Itt igazabol nem a miert a lenyeg, hanem a hogyan: ha ugy definialjuk a trigonometrikus fuggvenyeket, ahogy szokas, a fenti allitas elegge trivialissa valik.

Mellékes, mert tényleg erre a konkrét esetre vonatkozik...

Gyorsan beírtam a googlba, és olyan bizonyítás is van ami kimondottan szemléletes, konkrétan megfelelteti a egységsugarú negyedkör területét meg a sorozatot

http://www.proofwiki.org/wiki/Leibniz's_Formula_for_Pi/Leibniz's_Proof

Ha korrektek akarunk lenni, akkor ehhez eloszor be kene latni a kor teruletenek kepleteta, ami itt csak el van fogadva. Ez a bizonyitas amugy szemleletes, csak nagyon sok ki nem mondott (nem bizonyitott) allitason alapul. Akarmit azert nem lehet csak ugy integralni meg derivalni es hasonlok... A kor teruletenek preciz bizonyitasa meg tenyleg ugy megy, ha exponencialis alapokon definialod a trignometriat.

?
nem AZ analízisről volt szó hanem erről a konkrét bizonyításról, az első két anal előadást felpörgetve, jól megzsírozva be kell hogy fogadja :)

persze ha a "pár" alatt mindenképp két órát akarsz érteni vagy bármelyik gimist érted, vagy kényelmes oktatási tempót, akkor igazad van, több mint két óra

Megint csak off:
- De magát a problémát én pl. pont gimnáziumban fedeztem fel (önállóan, a relatív prímek előfordulásának valószínűsége megfogalmazásban)
- Egy kis programot is írtam amivel úgy látszott, hogy konvergens
- Haverommal kb. egy hétig próbáltuk bebizonyítani, hogy tényleg az, és hogy mennyi az annyi

Tény: nem sikerült... ;)

(Eleinte fel sem merült bennünk, hogy nehéz probléma lenne, és még csak utána se néztünk más megoldotta-e, pedig Eulert nehéz lett volna szem elől téveszteni...;)

nem tudom mit értesz érteni alatt, de az egyetemre gimis kerül, a sallangokkal együtt az első félév végére valamennyire értenie kell és vizsgán levezetnie, a sallangokat levágva csak ennek a bizonyítása max pár óra, egy értelemszerűen nem abszolút nem reál beállítottságú gimisnek tehát el lehet magyarázni :)

igaza van az előttem szólónak tényleg inkább szépnek tartom, mint nem értem, már túl vagyok egy "pár" félév B-s matekon (BME-n így van volt anno a "hétéves" képzésben, az osztályozás nehézség szerint "A" könnyű "B" Hard "C" Csak fetisisztáknak) És tényleg átrágtuk, főleg szigóra készülés közben, de attól még mindig szép :)

"Ezeket imádom, az emberben mindig felmerül a kérdés de miéért?
A best of akkor is marad a legfontosabb nevezetes számok egy egyenletben."
Ezzel meg is adtad a valaszt. Ugyanis a trigonometriai fuggvenyek az exponencialis fuggvenybol szarmaztathatok (komplex eset, termeszetesen).

( mrev | 2011. 02. 14., h – 17:37 )


e**(i*pi)==-1

Ez a matematika egyik legszebb egyenlete. Szerepel benne e, i, pi, -1, csupa fontos és érdekes szám.
--
CCC3

( Raytry | 2011. 02. 16., sze – 17:21 )

Az er, ha 50 oldalnyi tizedesjegyig kiszamolt Pi-t ad be baratnod, mint dolgozat? ;)

( gbor | 2011. 04. 08., p – 23:00 )

Már csak egy dolog: bizonyítás kellene ahhoz, h. a pi transzcendens szám :) valaki? :\ [csak továbbítok egy kérést.. ]

( jkop | 2011. 04. 11., h – 19:28 )

kezdje el leírni a pít, az kiad ötven oldalt :P

most talaltam az ubuntu taroloban a pi nevu CLI programot ami pi-t tudja legeneralni amilyen ponossagura kered eredmeny 10000 szemjeggyel:
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715364367892590360011330530548820466521384146951941511609433057270365759591953092186117381932611793105118548074462379962749567351885752724891227938183011949129833673362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132000568127145263560827785771342757789609173637178721468440901224953430146549585371050792279689258923542019956112129021960864034418159813629774771309960518707211349999998372978049951059731732816096318595024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303598253490428755468731159562863882353787593751957781857780532171226806613001927876611195909216420198938095257201065485863278865936153381827968230301952035301852968995773622599413891249721775283479131515574857242454150695950829533116861727855889075098381754637464939319255060400927701671139009848824012858361603563707660104710181942955596198946767837449448255379774726847104047534646208046684259069491293313677028989152104752162056966024058038150193511253382430035587640247496473263914199272604269922796782354781636009341721641219924586315030286182974555706749838505494588586926995690927210797509302955321165344987202755960236480665499119881834797753566369807426542527862551818417574672890977772793800081647060016145249192173217214772350141441973568548161361157352552133475741849468438523323907394143334547762416862518983569485562099219222184272550254256887671790494601653466804988627232791786085784383827967976681454100953883786360950680064225125205117392984896084128488626945604241965285022210661186306744278622039194945047123713786960956364371917287467764657573962413890865832645995813390478027590099465764078951269468398352595709825822620522489407726719478268482601476990902640136394437455305068203496252451749399651431429809190659250937221696461515709858387410597885959772975498930161753928468138268683868942774155991855925245953959431049972524680845987273644695848653836736222626099124608051243884390451244136549762780797715691435997700129616089441694868555848406353422072225828488648158456028506016842739452267467678895252138522549954666727823986456596116354886230577456498035593634568174324112515076069479451096596094025228879710893145669136867228748940560101503308617928680920874760917824938589009714909675985261365549781893129784821682998948722658804857564014270477555132379641451523746234364542858444795265867821051141354735739523113427166102135969536231442952484937187110145765403590279934403742007310578539062198387447808478489683321445713868751943506430218453191048481005370614680674919278191197939952061419663428754440643745123718192179998391015919561814675142691239748940907186494231961567945208095146550225231603881930142093762137855956638937787083039069792077346722182562599661501421503068038447734549202605414665925201497442850732518666002132434088190710486331734649651453905796268561005508106658796998163574736384052571459102897064140110971206280439039759515677157700420337869936007230558763176359421873125147120532928191826186125867321579198414848829164470609575270695722091756711672291098169091528017350671274858322287183520935396572512108357915136988209144421006751033467110314126711136990865851639831501970165151168517143765761835155650884909989859982387345528331635507647918535893226185489632132933089857064204675259070915481416549859461637180270981994309924488957571282890592323326097299712084433573265489382391193259746366730583604142813883032038249037589852437441702913276561809377344403070746921120191302033038019762110110044929321516084244485963766983895228684783123552658213144957685726243344189303968642624341077322697802807318915441101044682325271620105265227211166039666557309254711055785376346682065310989652691862056476931257058635662018558100729360659876486117910453348850346113657686753249441668039626579787718556084552965412665408530614344431858676975145661406800700237877659134401712749470420562230538994561314071127000407854733269939081454664645880797270826683063432858785698305235808933065757406795457163775254202114955761581400250126228594130216471550979259230990796547376125517656751357517829666454779174501129961489030463994713296210734043751895735961458901938971311179042978285647503203198691514028708085990480109412147221317947647772622414254854540332157185306142288137585043063321751829798662237172159160771669254748738986654949450114654062843366393790039769265672146385306736096571209180763832716641627488880078692560290228472104031721186082041900042296617119637792133757511495950156604963186294726547364252308177036751590673502350728354056704038674351362222477158915049530984448933309634087807693259939780541934144737744184263129860809988868741326047215695162396586457302163159819319516735381297416772947867242292465436680098067692823828068996400482435403701416314965897940924323789690706977942236250822168895738379862300159377647165122893578601588161755782973523344604281512627203734314653197777416031990665541876397929334419521541341899485444734567383162499341913181480927777103863877343177207545654532207770921201905166096280490926360197598828161332316663652861932668633606273567630354477628035045077723554710585954870279081435624014517180624643626794561275318134078330336254232783944975382437205835311477119926063813346776879695970309833913077109870408591337464144282277263465947047458784778720192771528073176790770715721344473060570073349243693113835049316312840425121925651798069411352801314701304781643788518529092854520116583934196562134914341595625865865570552690496520985803385072242648293972858478316305777756068887644624824685792603953527734803048029005876075825104747091643961362676044925627420420832085661190625454337213153595845068772460290161876679524061634252257719542916299193064553779914037340432875262888963995879475729174642635745525407909145135711136941091193932519107602082520261879853188770584297259167781314969900901921169717372784768472686084900337702424291651300500516832336435038951702989392233451722013812806965011784408745196012122859937162313017114448464090389064495444006198690754851602632750529834918740786680881833851022833450850486082503930213321971551843063545500766828294930413776552793975175461395398468339363830474611996653858153842056853386218672523340283087112328278921250771262946322956398989893582116745627010218356462201349671518819097303811980049734072396103685406643193950979019069963955245300545058068550195673022921913933918568034490398205955100226353536192041994745538593810234395544959778377902374216172711172364343543947822181852862408514006660443325888569867054315470696574745855033232334210730154594051655379068662733379958511562578432298827372319898757141595781119635833005940873068121602876496286744604774649159950549737425626901049037781986835938146574126804925648798556145372347867330390468838343634655379498641927056387293174872332083760112302991136793862708943879936201629515413371424892830722012690147546684765357616477379467520049075715552781965362132392640616013635815590742202020318727760527721900556148425551879253034351398442532234157623361064250639049750086562710953591946589751413103482276930624743536325691607815478181152843667957061108615331504452127473924544945423682886061340841486377670096120715124914043027253860764823634143346235189757664521641376796903149501910857598442391986291642193994907236234646844117394032659184044378051333894525742399508296591228508555821572503107125701266830240292952522011872676756220415420516184163484756516999811614101002996078386909291603028840026910414079288621507842451670908700069928212066041837180653556725253256753286129104248776182582976515795984703562226293486003415872298053498965022629174878820273420922224533985626476691490556284250391275771028402799806636582548892648802545661017296702664076559042909945681506526530537182941270336931378517860904070866711496558343434769338578171138645587367812301458768712660348913909562009939361031029161615288138437909904231747336394804575931493140529763475748119356709110137751721008031559024853090669203767192203322909433467685142214477379393751703443661991040337511173547191855046449026365512816228824462575916333039107225383742182140883508657391771509682887478265699599574490661758344137522397096834080053559849175417381883999446974867626551658276584835884531427756879002909517028352971634456212964043523117600665101241200659755851276178583829204197484423608007193045761893234922927965019875187212726750798125547095890455635792122103334669749923563025494780249011419521238281530911407907386025152274299581807247162591668545133312394804947079119153267343028244186041426363954800044800267049624820179289647669758318327131425170296923488962766844032326092752496035799646925650493681836090032380929345958897069536534940603402166544375589004563288225054525564056448246515187547119621844396582533754388569094113031509526179378002974120766514793942590298969594699556576121865619673378623625612521632086286922210327488921865436480229678070576561514463204692790682120738837781423356282360896320806822246801224826117718589638140918390367367222088832151375560037279839400415297002878307667094447456013455641725437090697939612257142989467154357846878861444581231459357198492252847160504922124247014121478057345510500801908699603302763478708108175450119307141223390866393833952942578690507643100638351983438934159613185434754649556978103829309716465143840700707360411237359984345225161050702705623526601276484830840761183013052793205427462865403603674532865105706587488225698157936789766974220575059683440869735020141020672358502007245225632651341055924019027421624843914035998953539459094407046912091409387001264560016237428802109276457931065792295524988727584610126483699989225695968815920560010165525637567