Újra kaptam levélben pár feladatot (egészen pontosan 26-ot) az integrálás/differenciálszámítás/differenciálegyenletek témaköréből, hogy segítsek megoldani.
És ahogy korábban volt, most is van pár olyan feladat, amit nem nagyon tudtam megfogni, ezért ezúttal is a közösség matematikát kedvelő közönségéhez fordulnék iránymutatásért.
Újfent előre kell bocsátanom azt is, hogy ezek nem az én feladataim, én is csak segíteni szeretnék, nincs rajtam eredménykényszer sem, hogy mindenképpen meg kell oldjam a feladatokat. De ha valaki mutat egy utat, akkor azon szeretnék végigmenni és megérteni a miérteket. Így ha valaki esetleg beír egy megoldást, akkor azt szeretném reprodukálni saját magam is valamilyen módon. :)
A feladatok:
1) Határozza meg a differenciahányados-függvény határértékeként az alábbi függvény derivált függvényét: f(x)=x^2
megoldva és ellenőrizve
2) kifejezés közelítő értéke (és) a benne szereplő függvény a függvény nevezetes helyén lineárisan közelítve? lg11
megoldva
3) f adott intervallum feletti ívének hossza? f(x)=sqrt(x^3), x eleme [0,1]
Erre sikerült egy olyan eredményt kihoznom, hogy: 1/27 * (13 * sqrt(13) - 8). Ha valaki kiszámolja esetleg, akkor elárulhatná - mintegy B-próbaként - hogy helyes-e vagy helytelen?
B-próba igazolta a helyességet
4) f adott intervallum feletti íve és az x tengely közti síklap súlypontja? f(x) = 5ch(x/5), x eleme [0,5]
megoldva
5) f(x) = x-(1/x) görbéjének az x tengellyel alkotott metszéspontjaiba húzott érintőinek egyenletei?
megoldva és ellenőrizve
6) félkörlemezből (r=10cm) legfeljebb mekkora területű szimmetrikus trapéz alakú lemez vágható ki?
megoldva és ellenőrizve
7) f adott intervallum feletti ívének az x tengely körüli megforgatásával keletkező forgástest súlypontjának koordinátái? f(x)=(x+1)(1-x), x eleme [0,1]
x=5/16, y=0, z=0. Megerősítő B-próba valaki?
megoldva
Bónusz!
+1) határérték a L'Hospital szabály alkalmazásával? lim(x->0)(3tg4x-12tgx)/(3sin4x-12sinx)
wolfram szerint ez -2 lesz, de nem sikerült kicsiholnom ilyen erdményt papíron a deriválgatások után sem
megoldva és ellenőrizve
Hozzászólások
a 3-ra adott válasz szerintem helyes. Ha az ívhossz képletével számoltál márpedig biztos h azzal mert én is ugyan ezt kaptam akkor nagy baj nem lehet :D
Köszönöm.
Nem valószínű, hogy ma átmennék az analízis szigorlaton. Sőt lehet, hogy még az érettségivel is gondok lennének (bár a mai oktatási rendszerben... ki tudja?)
--
[ Falu.me | Tárhely | A Linux és én ]
ez mitől flame?
vagy már kocka oldalon is ciki vágni a matekot?
mi van veletek :D
nem hiszem hogy offtopicban jobb lenne, máshova meg nem illik be :)
--
"SzAM-7 -es, tudjátok amivel a Mirage-okat szokták lelőni" - Robi.
hát, sztem inkább Offtopic akkor már, ne végülis mindegy
(csak az up kedvéért)
1.
'a' pont beli differencia-hányados függvény: (x^2-a^2)/(x-a)
Ennek kell 'a'-beli határértéke. A számláló szorzattá alakítható: (x-a)*(x+a)
x-a-val egyszerűsítünk, marad x+a. Ennek a határértéke a-ban a+a, azaz 2a. Tehát x^2 deriváltfüggvénye 2x.
Köszönöm.
5.
- x tengellyel a metszéspontok (x-1/x=0 megoldása):x₁= -1 ill. x₂=1
- érintőket y=m*x+b alakban keressük, m-et a deriváltfüggvényből kapjuk
- f'(x)=1+1/(x^2)
- f'(1)=f'(-1)=m=2, azaz az érintők y=2*x+b alakúak
- b-t behelyettesítéssel kaphatjuk, mivel az érintőkön rajta van a (-1;0) ill. a (1;0) pont, tehát 0=2*1+b₁, azaz b₁= -2, egyik érintő: y=2*x-2
- ugyan így 0=2*(-1)+b₂; b₂=2; y=2*x+2
Köszönöm.
6. 75*sqrt(3) ha jól számoltam ;)
Ez egyébként csak egy pithagorasz tétel + egy trapézterület képlet + egy szélsőérték keresés
Javítok: még két feltétel kell, hogy beférjen a félkörbe:
nagyobbik_alap / 2 <= r
sqrt(magasság^2+(kissebbik_alap/2)^2)<=r
Ekkor a nagyobbik alap közepén felvett r sugarú kör egyik fele tartalmazza a trapézt.
És annak belátása, hogy a maximum egyenlőségnél van... És ekkor már csak a magasság független paraméter.
Köszönöm.
Itt a 11. oldalon található képletekkel ki lehet számolni a 4. és 7. feladatokat. Az egyenletbe csak be kell helyettesíteni a függvényünket, aztán irány a WA (jobboldalt lehet kérni, hogy mutassa a lépéseket)
A hetesnél meg ugye a forgásból következik, hogy a súlypont valahol az x tengelyen lesz, így elég a görbe alatti terület súlypontjának y koordinátáját kiszámolni, és az egész testé is az lesz.
Nekem kijött a bónusz. Mivel a texben nem nagyon vagyok járatos, inkább csak a lépéseket írom le. Ha kell lefényképezem amit firkáltam, de nem biztos, hogy az követhető :D
1. 3-mal egyszerűsítünk
2. L'H
3. számlálót közös nevezőre hozzuk
4. a számláló számlálója a^2-b^2 alakú, tehát felbontjuk (a+b)(a-b)-re
5. a nevezőben megtalálható az egyik tag (-1)-szerese, tehát egyszerűsítünk vele és kap a maradék egy (-1)-szeres szorzót
6. behelyettesítjük az x=0-t és kijön a -(1+1)/(1*1)= -2
Köszönöm.
Ezt a közös nevező után számláló felbontós részt nem vettem észre.
Ha egy kicsit körülírnád, hogy tulajdonképpen mi a második feladat, akkor abban is segítek, ha tudok, csak nem értem ezt a megfogalmazást.
Ne maradjon ki az az egy szem feladat :)
Közben sikerült értelmeznem és megoldanom. Köszi!