Ez rendben is van, de a valós számok axiomatikus tárgyalásához (gondolom úgy definiáltátok, mint egy felsőhatár-tulajdonságú rendezett test, amiből valójában egy van, mert bármely kettő ilyen test izomorf) kellenek analízisbeli fogalmak, a felsőhatár-tulajdonság ilyen, ez már analízis.
Az axiomatikus bevezetés tényleg nagyon jó, én is ez alapján tanultam a valós számokat, azonban ez magáról a számtestről egy csomó mindent nem mond el, legalábbis sokan nem gondolnak bele, hogy egy csomó analízisbeli fogalom nem működik a felsőhatár-tulajdonság nélkül, és tényleg nem látják a különbséget a valósok és a racionálisok között a definíción kívül. A definíciót persze bárki meg tudja tanulni, de érteni is kell, miért fontos belőle mindegyik tulajdonság.
A különféle archimedeszi axióma, felsőhatár-axióma már felhasználja a valós szám fogalmát.
Igen, valóban nagyon tisztán le lehet vezetni halmazelméleti alapokból a valós számok definícióját, de a mondanivaló lényege: az analízis és a valós számok fogalma egymás nélkül nem létezik.