A Nice Math Olympiad Algebra Problem.

Bevezető:
Mostanában kedvelem az ilyen videókat és szeretem őket fejben megoldani, ha az agyam elég hozzá. Van amikor csak megállítom és ötletelek, hogyan oldanám meg, majd megnézem a megoldást.

Probléma:

x^2 - y^2 = 24
xy = 35

x+y = ?

Megoldása  a "kollégának":
https://www.youtube.com/watch?v=aVuR0nx9gJQ

Amikor a videót megláttam szétröhögtem magam.  Miért? Az ilyen feladatok általában egészeket adnak meg ezen a szinten, így a számelmélettel az ember gyorsabban végez, mintha belemenne a számolásba.

Leírva az egész sokkal hosszabb, mint fejben lezongorázni. Nekem az ilyen feladat közel ránézésre megy, aminek az oka, hogy kisiskolás koromban akkora szorzótáblákat rajzoltam, amekkora papírt találtam. Így akkor még elméleti háttér nélkül tapasztalatból tudtam, hogy a megoldás milyen számtartományban lesz a számegyenesen.

A 35-ről elsőre üvölt, hogy  7*5 vagy -7*-5 (egyelőre kár tovább vizsgálódni, később kiderül miért)

Ha az így kapott számokat beírom az egyenletbe, akkor az true. Oké, megtaláltunk két megoldást, de vajon az összeset?

Ha elkezdjük a négyzetszámokat felírni magunknak sorbarendezve, akkor láthatjuk, hogy kettő között 24 különbség nem sok helyen lehetséges:

Négyzetszámok: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196
Különbségek: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25

Ennyiből megsejthetjük, hogy a négyzetszámaink különbsége (2n+1) vagyis hárommal kezdve, kettesével növekedő páratlan számokat adó számsort képeznek. A sorozatot tovább írni felesleges, mert elérkeztünk a 25-ös különbségig, ami több, mint az első egyenletben szereplő érték. Azt tudhatjuk, hogy ebből számsorból szükségünk van 2n db-ra, hogy páros számot kapjunk, ami a feladatban is megoldás. Ez azt jelenti, hogy a keresett számok páros számú távolságra vannak egymástól.

Mivel biztosan legalább két távolságra vannak a számok egymástól, így a legnagyobb négyzetszám a 49  lehet amitől kettő távolságra van a 25 és a különbségük pont 24, mint az első egyenlet értéke valamint gyökeik szorzata 35, mint a második egyenlet értéke, így ez bingó, de ezt már kiszámoltuk prímfelbontással. Mindenesetre azt már kijelenthetjük egyszerű okoskodással, hogy megtaláltuk ebben a számsorban a maximum megoldást. Most nézzük a minimumot. 

Simán próbával vehetjük az első négy legkisebb különbség számot (első 3 kevés), aminek összege pont 24, mint az első képletben lévő egyenletnek, de ekkor az egyik tényező négyzetértéke 1-nek a másiknak 25-nek  kellene lennie, de ekkor a második képlet eredménye 25 lenne így eldobhatjuk ezt a megoldásunkat és léphetünk tovább egy páros mennyiséget, ami üvölt, hogy felesleges.

Ezzel az egész számok halmázán megoldottuk a feladatot, lényegi számolás nélkül. Nekem nem volt türelmem végig követni a videót. Bele-bele tekertem és szörnyülködtem. :)

// Megoldásom:  12, -12 ... a videón nem ez