Geometriai feladvány

Adott egy kör és a szelője. Ismert az egyik körív és a húr hossza. Hogyan számolható ki a kör sugara?

( T_chris | 2012. 09. 16., v – 14:11 )

A körív két végét köti össze a húr, vagy tetszőleges helyen található?
Ha az első akkor Elvben könnyen kiszerkeszthető az origo. Mindössze a húr felére kell merőlegest állítani, illetve a körív egy pontjára. A két merőleges metszéspontja a kör középpontja. Ha gyakorlati kérdés megoldására kell akkor ez bőven jó. De innentől már szinte mindent ki lehet számolni.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - -> Kérjük a humoros aláírást itt elhelyezni. <- - -

( machobymb v | 2012. 09. 16., v – 14:25 )

Gondolom, hogy koordináta-geometria feladat lenne.
Én az alábbi módon csinálnám:
Állítok egy felezőmerőlegest a húrra, mely metszi valahol a körívet.
Ezt a pontot összekötöm a körív egyik végpontjával, ezzel egy újabb húrt kapok, melyre ismét felezőmerőlegest állítva, a két felezőmerőleges metszéspontja lesz az origó.
Ezután pedig két pont távolságának meghatározásával kiszámítható a sugár.

( kikuchiyo | 2012. 09. 16., v – 14:55 )

Legyen A és B a két pont, ahol a szelő metszi a kört, O a kör origója és alfa az AOB szög. Jelöljük a húr hosszát s-sel és a körívét a-val.

Azt mondod, "ismert az egyik körív", de nem tudjuk melyik: a "hosszabb", amelyik az O-t is tartalmazó félsíkban van, vagy a "rövidebb", amelyik az ellenkezőn.

Az első esetben a = (2 pi - alfa) × r, a másodikban a = alfa × r.

A húr hossza s = 2 r sin(alfa /2) (mindkét esetben).

A két összefüggésből az alábbi transzcendens egyenletet kapjuk:

I.
s = 2 r sin(pi - a / (2 r))

II.
s = 2 r sin(a / (2 r))

Csak numerikusan oldható meg.

Kiegészítés:

Eldönthető, hogy melyik körív hossza van adva: ha -- a fenti jelölésekkel -- a > pi/2 s, akkor a hosszabb, azaz az első formula érvényes, ha <, akkor a rövidebb, azaz a második formula használható.

A numerikus megoldáshoz érdemes iterálni:
(példaként a második egyenletet választva)

kezdőértéknek a sin sorfejtéséből kapott

s = 2 r [ a / (2 r) - a^3 / (48 r^3) ]

egyenletet megoldva, az

r_0 = a / sqrt(24 (1 - s / a))

értéket célszerű használni, majd ezt az az eredeti egyenlet átrendezéséből nyert

r_(i+1) = s / (2 sin(a / (2 r_i)))

iterációs formulába helyettesítve igény szerinti pontosságig iterálni.

( kisbetu v | 2012. 09. 16., v – 14:56 )

A húrfelező merőlegesből, a húrból meg a sugárból kapsz két egybevágó derékszögű háromszöget.
Van egy egyenleted az ismert húrhosszal, a sugárral, meg a középponttól mért távolsággal.
Két ismeretlen.

A húr hossza a körkerületénél rövidebb, arányossági tényező a háromszöged középpontnál levő szöge, meg a pííííííí.
Még egy ismeretlen.

Ez a szög a derékszögű háromszöged átfogója és melletti befogója közti szög kétszerese.

Három egyenlet, három egyenlet.
Viszontlátásra.

Ha meg van adva egy koriv (monjuk egy AB iv), akkor abbol barmikor megszerkesztheto a kor kozeppontja: legyen C az AB iv egy tetszoleges belso pontja. Az AC es CB szakaszok felezomerolegesenek a metszespontja a kor kozeppontja lesz.

Ha a koriv algebrailag (koordinatageometria szerint) van megadva, akkor is eljatszhato ez a dolog, hiszen az AB ivet valamely f(t): R ->R^2, t in [0,1], f(0) = A, f(1)=B fuggvennyle le lehet irni. Ekkor t=0.5 eseten is kapun egy C-t, onnantol kezdve meg mar minden van.

Szerk: felreertettem a feladatot, nyilvan nem a koriv, hanem a koriv hossza van adva.

( foofighter | 2012. 09. 16., v – 23:48 )

(1) r * sin(alfa/2) = l/2
(2) 2 * r * alfa = k

ahol k = körív hossza, ill,
l = húr hossza