Az egészet mozgassuk el úgy, hogy a kör középpontja legyen az origóban. (Ezt megtehetem, miért ne tehetném...)
Akkor a kör egyenlete:
x^2 + y^2 = r^2
(ha még egy kicsit egyszerűsíteni akarom a dolgomat, legyen az egységnyi hossz a kör sugara, s akkor nincs r^2 – ezt is megtehetem, hiszen a nagyítás is egybevágósági transzformáció, legfeljebb a végén „vissza kell nagyítani” majd az egészet.)
Az egyenes egyenlete:
y = mx + c
(ugye ha párhuzamos az y tengellyel, azzal ezt nem fedem le, de az a fenti példában külön, nagyon egyszerűen vizsgálható; itt picit még csaltam, ugyanis eredetileg nem kötöttem ki, hogy a „sétány” egyenes. Így első blikkre bármilyen egyenletet megadhatnék itt, s számolható lenne, de ezt át kéne még gondolni. Én kapásból felírnék egy egyenletet, ami a „sétány” bármely A pontja, s a P pont közötti távolságot adja, majd ezt deriválnám. Nem vagyok benne biztos, hogy bármilyen, hasraütésszerűen feldobott „sétány-egyenletet” meg lehetne oldani ennél egyszerűbben, hogy egy átlagos középiskolásnak is menjen, de ebben uzsolt valószínűleg jártasabb.)
S van egy keresett pont, legyen P(p1, p2)
Akkor a kör-pont távolságot megkapom, ha felírom a körközéppont, pont egyenest:
y = p2/p1 * x
(ugyancsak, ha ez az egyenes párhuzamos az y tengellyel, külön vizsgálom, de egyszerű eset)
Veszem ennek az egyenesnek, s körnek a metszéspontját:
x^2 + (p2/p1 * x)^2 = 1
Ebből megvan a metszéspont: M(m1, m2), m1, m2 könnyen számolható (nyilván a két gyökből nekem csak az egyik kell, amelyik P-hez közelebb van. Adott számok esetén ugyancsak ez nem probléma)
A kör-pont távolság:
d = sqrt((m1-p1)^2 + (m2-p2)^2) - Pitegorasz tételből
Még kell a P-pont, s eredeti egyenes távolsága (itt most megint kicsit csaltam, mert lusta vagyok levezetni, de a Wikipédia szerint így néz ki.)
Az egyenes egyenletét aszerint átrendezve: 0 = mx - y + c
S akkor a fent említett P(p1, p2) pont távolsága:
d = (mp1 - p2 + c) / sqrt(m^2 + 1)
Ha a két távolságegyenletet egyenlővé teszem, megvan a megoldás. S nem lesz két egyenlet az egy helyett, egy egyenlet lesz, ugyanis nem egy konkrét P pont, hanem egy görbe a megoldás, valahogy így. Ehhez ugye kéne még egy feltétel, hogy ebből pontokat csináljak...
Viszont görbének görbét ad a fenti hablaty, mert csak a p1, p2 az ismeretlen benne, bármi mást ki tudok fejezni a feladatban megadott értékek, s p1, p2 valamilyen polinomjával.
TL;DR
Azt hiszem, ehhez „látni kell egy kicsit”, már a feladat elején, hogy melyik egyenletekből, milyen dolgokat tudsz majd kifejezni, s abból hogyan haladsz tovább. Nem tudom, mennyire reális középiskolai matek példa ez, mi tuti csináltunk ilyet, de mi nem voltunk egy átlagos középiskolai matek osztály.
Ha bárhol „elszámoltam” fent, sorry, azt hiszem a megoldási meneten nagyban nem változtat.
Továbbá érdekes lehet meggondolni, hogy az így kapott görbe micsoda is. Sajnos a Geogebrát már bezártam, pedig elforgatnám az egyenest vízszintesbe, úgy talán jobban „szemre áll”. Eléggé hasonlít egy parabolára, de komolyabb meggondolás nélkül nem merem rávágni.
--
blogom