Tárhelyköltözés után, számít a /home/név az útvonalakban?

Okozhat. Ha feltetted a kérdést gondolom már okozott is.
Az tényleg a legalja amikor a kód közepébe egy útvonal fixen be van égetve.
Eggyel jobb ha valamilyen globális / környezeti változóba ki van emelve az útvonal és egy helyen kell beállítani.
A normális megoldás az ha relatív útvonallal megy minden, tehát nem számít hogy honnan fut.

Te ismered a saját rendszered, cms-d, website-od, így erre a kérdésre neked kell tudnod válaszolni. Senki nem fogja tudni helyetted kitalálni.

Általános esetben van valami konfigfájl, amiben esetleg szerepel a root directory. Ott felül tudod írni. Pont ennek elkerülésére a legtöbb helyen relatív hivatkozásokat használnak, így nem lényeges a root directory helye.

Miert nem a rendszergazdatol kerdezed?

define programok.

egy jól megírt webes alkalmazásnak (mert gondolom erről van szó) nem kellene, hogy gondot okozzon - de ilyen sajnos nincs a gyakorlatban ;)

Szóval a kérdésedre a válasz:

Egészen biztosan problémát fog okozni. - csak az a kérdés, hogy mekkorát.

Az előzőkből gondolom, hogy wordpress a site. Ha igen, azt viszonylag könnyű költöztetni.

A helyedben: https://www.wpbeginner.com/wp-tutorials/how-to-move-wordpress-to-a-new-…

Illetve duplicator pro vagy wp migrate pluginokra keresnék rá.

Szerk. A legtöbb szolgáltató ingyen vagy olcsóért vállalja a költöztetést. Kérdezted már a providert?

Nagyon egyszerűen kiderítheted. A mentésben rákeresel, hogy szerepel-e valamelyik php fájlban a /home/regihely string. Ha valamelyik fájlban szerepel, ott átírod és kész.
Nagyon rosszul megtervezett programoknál esetleg még szerepelhet a mysql adatbázisban is. Megnézed a mysqldumpban is és ha szerepel benne, abban is átírod.
Jellemzően amúgy ilyenkor inkább az szokott gondot okozni, hogy az új helyen más a PHP verzió, mint a régi helyen.

Normális esetben - értsd úgy, hogy a programozó előre gondolkozott - nem szabadna problémát okozna, de ez nem az a világ.

Szinte biztos, hogy valaki úgy írt egy-két kódsort, vagy script-et, hogy az össze fog akadni a régi-új névvel.

@trying-nak igaza van, első körben keresnék, de nem csak PHP-ban. Bármiben. IS, mert az ördög a részletekben rejlik.