Az igaz, hogy a háromszögegyenlőtlenség 'axióma', pontosabban egy függvény akkor metrika, ha teljesít 3 tulajdonságot (szimmetrikus, nem-negatív, és teljesíti a háromszög-egyenlőtlenséget).
Viszont itt két dolog azért keveredik:
- az egyenes (illetve általánosságban görbék) hossza
- pontok távolsága.
Először is, nem biztos, hogy létezik két pont között egyenes, ehhez az kell, hogy a metrikus tér egyben vektortér is legyen. Metrikus tér lehet véges halmaz is, véges halmazon is definiálhatod két elem távolságát egy adott metrikával, attól még nem tudsz két elem között egyenest definiálni. Metrikus térben eleve nem biztos, hogy definiálva van két elem között bármilyen művelet (összeadás, skalárral szorzás stb), csak annyi van, hogy bármely két térbeli pontnak meg tudod mondani a távolságát.
Metrikus térben a metrika csak két pont közötti távolságot mondja meg, azt viszont be KELL bizonyítani, hogy két pont közötti görbék közül az egyenes, amennyiben definiálható, az, amelynek a hossza a legrövidebb.
Két X-beli x és y pont közötti (paraméterezett) görbék ugye olyan f: [0, 1] -> X függvények, melyre f(0) = x és f(1) = y. (ezért fontos, hogy X vektortér legyen, nem csak akármilyen metrikus tér)
Az egyenes is ilyen, e(t) = t*x + (1-t)*y.
Ettől függetlenül sok más görbe van x és y között.
A görbék hosszát pedig nem mindig lehet meghatározni, csak akkor, ha a görbét leíró függvény bizonyos tulajdonságokkal rendelkezik (ún. rektifikálható).
És akkor már mondható, hogy két pont közötti rektifikálható görbékből valóban a két pontot összekötő egyenes a legrövidebb, és annak hossza megegyezik a két pont közötti távolsággal.
De mondom, ez utóbbi csak metrikával rendelkező vektorterekben igaz.