Mehetünk mélyebbre, olyan értelemben, hogy csak egy bináris reláció (amit úgy hívünk, hogy "eleme") van, egy konstans szimbólum (az üres halmaz) meg pár formula, amik axiómák. Az egész halmazelmélet (olyan értelemben, hogy a halmaz valamiknek az összessége) csak modellje egy elsőrendű axiómarendszernek.
Megközelíthetjük persze tudománytörténetileg azt, hogy mégis honnan alakult ki az axiomatikus halmazfogalom (az intuitív halmaz = elemek valamilyen össszesége fogalomból), ez is egy érdekes téma matematikatörténetileg.