"A lendület is megmarad az idõbeli transzlációra (ezt mondja ki a törvény)"
Na, amit nem értesz, hogy nem maga a szimmetria és az eltolás nem a rendszerre, hanem a rendszert leíró függvényekre kell értelmezni. Hogy értsed: ha egy zárt rendszer mozgását leíró törvényben az időváltozót (t) helyettesítem mondjuk t + epszilon értékkel, akkor is lesz olyan mennyiség, amely mindkét esetben ugyanaz: ez az energia.
Ha egy zárt rendszer mozgását leíró törvényben az x_i helykoordinátákat x_i+epszilon_i értékekkel helyettesítem, akkor is lesz olyan mennyiség, amely erre a változásra invariáns: ez a lendület.
Hogy másképp fogalmazzam meg:
Egy rendszer állapota kétfélemódon változhat: az első, amikor a fizikai rendszert leíró vonatkoztatási rendszere nem változik meg, de a vonatkoztatási rendszerben a fizikai rendszer megváltozik.
Ez az ún. aktív állapotváltozás.
A másik az ún. passzív állapotváltozás: a fizikai rendszert egy másik vonatkoztatási rendszerből írom le.
És az egész invariancia arról szól, hogy HA a fizikai rendszert leíró egyenletek passzív állapotváltozásokra szimmetrikusak, AKKOR az aktív állapotváltozás esetén van a rendszernek megmaradó mennyisége.
A rendszert leíró egyenletek struktúrájából lehet következtetni a rendszer tulajdonságaira.