"alapvetoen ott a baj, hogy a vegtelennel nem tud mit kezdeni a matek (keruloutak vannak)"
Azt a baj, hogy azt hiszed, hogy a végtelen mint szimbólum egy szám, résez a számok halmazának és érvényesek rá azok a műveletek, amik a számokra érvényeset.
Az a helyzet, hogy ez nincs így. Ugyanis a végtelen szimbóluma csak egy jelölésmód egy fogalom kifejezésére, de nem teljesülnek rá a számtestek testaxiómái, így nem szám. Ne akard felfogni úgy, mint egy szám.
Ha a valós számtestet kiterjesztjük a pozitív és negatív végtelen szimbólumaival, akkor megkapjuk a valós számok kiterjesztett rendszerét, de (és itt a lényeg) ez már nem számtest. Nem érvényesek rá a testaxiómák, nem lehet már számolni.
Amúgy a végtelenek között is van nagysági viszony, egyes végtelenek nagyobbak, mint a többiek.
Persze ez nagyon pongyola megfogalmazás. A lényeg, hogy halmazokra értelmezett a számosság fogalma, vannak véges és végtelen halmazok. A véges halmazok számossága egy természetes szám, míg a végtelen halmazok számossága sem csak szimplán "végtelen". Van például ún. megszámolható végtelen (a természetes számok és racionális számok halmazának számossága például ilyen) és nemmegszámolható végtelen. Ez az ún. kontinuum-számosság, a valós számok (vagy akár egy valós intervallum) számossága például ilyen. Ismert, hogy a kontinuum számosság nagyobb, mint a megszámolható végtelen számosság. Viszont a kontinuum számosságnál is van nagyobb számosság (pongyolán fogalmazva: "nagyobb végtelen"). Ugyanis ismert, hogy ha H egy halmaz, akkor a H->H függvények halmazának számossága nagyobb, mint H számossága. Így például a valós-valós függvények halmazának számossága nagyobb, mint a kontinuum számosság.
Tudom, nehéz dolog ez, mert nem intuitív, de felejtsd el, amit középiskolában tanultál, ha valóban foglalkozni akarsz olyan dolgokkal, hogy mi a végtelen, meg mi az, hogy valós szám. Ehhez alapvető analízisbeli és elemi absztrakt algebrai ismeretek kellenek.