Hát, ez azért nem teljesen tiszta és szép. A z=r (cos(phi)+i sin (phi)) csak egy jelölésmód, miután a sin(x)-et exp(ix)-exp(-ix)/2i-ként definiálod, a cos(x)-et hasonlóan.
exp(x) definíciója pedig sokkal természetesebb hatványsorral, ugyanis az mind komplex, mind valós esetre jól definiált, a differenciálegyenletes definícióhoz komplex differenciálegyenletek kellenek, máskülönben exp(i*pi) definiálatlan, mert i*pi nem valós szám. Így persze a "0-tól addig összegyűlt terület" is értelmetlen kifejezés.
Szimbolikusan persze szép ez a levezetés, de valójában nem sokat ér, a cos, sin, exp valódi természetéről és összefüggéséről nem mond semmit. Hasonló ez Euler summa(1/n^2) = pi^2/6 bizonyításához, szép az szimbolikusan, de nem pontos, ugyanis olyan műveleteket végez el sorokon, amelyek nem mindig végezhetők el, csak sok bizonyítás után.
A masik ilyen problema: egy szamot nem tudsz derivalni, igy azt az azonossagot, hogy z=r (cos(phi)+i sin (phi)), nem derivalhatod, hiszen mindket oldalon szam van. Ha azt mondod, legyen phi valtozo, attol meg a bal oldal csak egy szam marad, ez nem fuggvenyegyenlet, amit derivalni lehet. Mondom, szimbolikusan szep, de matematikailag nem korrekt.