Ha eⁿ-t nem úgy definiálod, hogy a termeszetes alapu exponencialis (sima hatvanyozas) aminek nincs is értelme, mert miért pont ez a fura szám? hanem úgy hogy az a függvény, ami x értéknél azt az y-t veszi fel, ami az adott pont beli érintőjének a meredeksége (vagy 0-tól addig összegyűlt terület, ez megmutatható, hogy ekvivalens) tehát az y'=y differenciál egyenlet egy partikuláris megoldása (C=1). ezt volt nagyon okos dolog kiszámolni. itt van a komplexitás nagyrésze.
másik ág. az szintén könnyen megmutatható, hogy a complex számok leírhatóak így: z = r*cos(n) + r*sin(n)*i
vegyük az egyszerű esetet, amikor r = 1 (és nem tudom, hogy innen kinek jutott eszébe, hogy deriváljuk mindkét oldalt. ez volt a zseniális lépés az egészben)
z = cos(n) + sin(n)*i
dz/dn = -sin(n) + cos(n)*i // itt észrevesszük, hogy -1*valami = i²*valami, majd kiemelünk i-t
dz/dn = i(sin(n)*i + cos(n)) // itt észrevesszük, hogy ez az eredeti z szorozva i-vel
tehát z' = z*i ezt megoldva:
z = Ceⁱⁿ
továbbá kihasználva, hogy amikor n = 0, akkor cos(0) + sin(0)*i = 1
C = 1 ugyanis i*0=0 és e⁰=1 és ahhoz, hogy C*1=1 igaz legyen, C-nek egynek kell lennie. így könnyen látszik, hogy
cos(n) + sin(n)*i = eⁱⁿ
---------------------------------------------------------------------------------------
Unix is simple. It just takes a genius to understand its simplicity. — Dennis Ritchie