es miert igy lett definialva. Megiscsak erdekes ez.
Szamolas nelkuli magyarazkodas:
Van egy fugveny, mindegy mi: e^x, sin(x), cos(x) tan(x) tenyleg mindegy. Nos, ez igy szamolhatatlan, mert az emberek osszeadni/szorozni tudnak. viszont ezeket is ki kellene szamolni. Van ezeknek ugynevezet Taylor polinomja, ami (nagyjabol) ugy nez ki, hogy a+bX+cX^2+dX^3+eX^4.....
Ez mar szamolhato, kar, hogy vegtelen. de sebaj, mert a vege egyre kevesbe erdekes (az egyutthatok erosen szaladnak a nulla fele). Oks, ezt hasznaljak es tudjak a matematikusok. Node az az erdekes, hogy a kovetkezo ket fuggveny:
e^x, amit ugy definialunk, hogy a termeszetes alapu exponencialis (sima hatvanyozas)
sin(x) amit ugy definialunk, hogy az X szogu 1 atmeroju derekszogu haromszog szoggel szembeni oldala
szoval ennek a ket fuggvenynek a Taylor felbontasa nagyon-nagyon-nagyon hasonlit egymashoz.
Ennyire: e^iX = cos(X)+i sin(X)
Ez szimplan latszik a felbontasbol. Na de miert? Miert van az, hogy a matematika ennyire ket kulon agabol terben es idoben nagy kulonbseggel definialt fuggvenyek ennyire kozel vannak egymashoz?
Az exponencialisok komplex sikra valo kiterjesztese egyebkent pont a Taylor felbontason alapul, marmint, hogy a Taylor felbontas maradjon meg, es legyen ervenyes. Ugyanezzel az otlettel szamolhatsz az e^matrix -ot is. Tehat azon tul, hogy
e^iPI = -1
"mert igy lett definialva"
a komlex kitevo definicija nem legbolkapott, a definicio ertelmes, es adja magat mas uton, es akkor egyszercsak kiesik belole ez a keplet.