Én ezt így szoktam megoldani, shellben és scriptben is működik:
parancs > log-$(date +%s).blabla
Ez igaz, hogy a unixtime-ot illeszti be a fájlnévbe, de a + jel után a %s lecserélhető +%Y-%m-%d vagy +%F-re, vagy amire akarod a man date leírása alapján. Ha csak error log kell, akkor a > helyett a 2> átirányítást is lehet használni.
Az meg, hogy minden nap új fájlba logoljon, az meg megoldható a kill vagy pskill paranccsal, amivel SIGGUIT, SIGKILL, SIGTERM szignált küldesz, és újraindítod a parancsot, ami a $(date) alapján már új dátummal a nevében kezd logot.