"Belátni hogy 10-es számrendszerben periodikus <=> racionális."
Ez egyáltalán nem a valós számok tulajdonsága, hanem bizonyos irracionálisoké is. De a valós számokat nem ez különbözteti meg a racionálisoktól.
"Sok-sok tulajdonságukat be lehet (sőt, kell is szegény törpéknek) látni; amik megkülönböztetik a racionálisakat az irracionálisoktól."
Pontosan egy olyan tulajdonság van, ami a valósakat megkülönbözteti a racionálisoktól, ez a felsőhatár-tulajdonság.
Nem sok-sok tulajdonság, hanem pontosan 1. Amiket te felsorolsz, azok csak példák az irracionális számok halmazaira, de nem írják le az irracionális számokat magukat.
"hogy kizárólag egyetemi tananyag, hogy kizárólag így lehetne őket értelmezni."
Dehogynem. Pont az is egy fontos tétel, hogy minden olyan halmaz, ami rendelkezik a felsőhatár-tulajdonsággal, izomorf a valós számtesttel.
" az irrac számok felfedezése"
Ez így azért túlzó kijelentés, azt kell mondani, hogy azt fedezték fel, hogy vannak irracionális számok, meg azt, hogy bizonyos számok irracionálisak. De attól még nem tudták azt, hogy valójában a valósakat mi különbözteti meg a racionálisoktól.